Esta lección está dedicada al estudio del círculo y el círculo. Además, el profesor te enseñará a distinguir entre líneas cerradas y abiertas. Te familiarizarás con las propiedades básicas de un círculo: centro, radio y diámetro. Aprende sus definiciones. Aprende a determinar el radio si se conoce el diámetro, y viceversa.
Si llena el espacio dentro del círculo, por ejemplo, dibuja un círculo con un compás en papel o cartón y lo recorta, entonces obtenemos un círculo (Fig. 10).
Arroz. 10. Círculo
Un circulo es la parte de un plano limitada por una circunferencia.
Condición: Vitya Verkhoglyadkin dibujó 11 diámetros en su círculo (Fig. 11). Y cuando contó los radios, obtuvo 21. ¿Contó correctamente?
Arroz. 11. Ilustración del problema
Decisión: los radios deben ser el doble que los diámetros, entonces:
Vitya contó incorrectamente.
Bibliografía
- Matemáticas. Grado 3 proc. para educación general instituciones con adj. a un electrón. transportador. A las 2 h Parte 1 / [M.I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova y otros] - 2ª ed. - M.: Educación, 2012. - 112 p.: il. - (Escuela de Rusia).
- Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matemáticas, 3er grado. - M.: VENTANA-GRAF.
- Peterson LG Matemáticas, 3er grado. - M.: Juventa.
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- Sernam.ru ().
- School-assistant.ru ().
Tarea
1. Matemáticas. Grado 3 proc. para educación general instituciones con adj. a un electrón. transportador. A las 2 h Parte 1 / [M.I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova y otros] - 2ª ed. - M.: Ilustración, 2012., art. 94 N° 1, art. 95 nº 3.
2. Resuelve el acertijo.
Vivimos juntos con mi hermano,
Nos divertimos mucho juntos
Pondremos una taza en la hoja (Fig. 12),
Vamos a rodearlo con un lápiz.
Toma lo que necesites -
Se llama...
3. Es necesario determinar el diámetro del círculo si se sabe que el radio es de 5 m.
4. * Usando un compás, dibujar dos círculos con radios: a) 2 cm y 5 cm; b) 10 mm y 15 mm.
§ 1 Círculo. Conceptos básicos
En matemáticas, hay oraciones que explican el significado de un nombre o expresión en particular. Tales oraciones se llaman definiciones.
Definamos el concepto de círculo. Un círculo es una figura geométrica que consta de todos los puntos de un plano ubicados a una distancia dada de un punto dado.
Este punto, llamémoslo punto O, se llama centro de la circunferencia.
El segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo se llama radio del círculo. Hay muchos de estos segmentos, por ejemplo, OA, OB, OS. Todos tendrán la misma longitud.
Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo se llama cuerda. MN es la cuerda del círculo.
La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro. AB es el diámetro del círculo. El diámetro consta de dos radios, lo que significa que la longitud del diámetro es el doble del radio. El centro de un círculo es el punto medio de cualquier diámetro.
Dos puntos cualesquiera del círculo lo dividen en dos partes. Estas partes se llaman arcos de un círculo.
ANB y AMB son arcos circulares.
La parte del plano que está limitada por un círculo se llama círculo.
Se utiliza un compás para representar un círculo en un dibujo. El círculo también se puede dibujar en el suelo. Para hacer esto, solo usa la cuerda. Sujete un extremo de la cuerda a una clavija clavada en el suelo y describa un círculo con el otro extremo.
§ 2 Construcciones con compás y regla
En geometría, muchas construcciones se pueden realizar usando solo un compás y una regla sin divisiones de escala.
Usando solo una regla, puede dibujar una línea arbitraria, así como una línea arbitraria que pase por un punto dado, o una línea que pase por dos puntos dados.
La brújula te permite dibujar un círculo de radio arbitrario, también un círculo con un centro en un punto dado y un radio igual a un segmento dado.
Por separado, cada una de estas herramientas permite realizar las construcciones más simples, pero con la ayuda de estas dos herramientas, ya puede realizar operaciones más complejas, por ejemplo,
resolver problemas de construcción tales como
Construye un ángulo igual a uno dado,
Construya un triángulo con lados dados,
Dividir el segmento por la mitad.
A través de un punto dado, dibuje una línea perpendicular a la línea dada, y así sucesivamente.
Consideremos el problema.
Tarea: En un rayo dado desde su comienzo, apartar un segmento igual al dado.
Dado un rayo OS y un segmento AB. Es necesario construir un segmento OD, igual al segmento AB.
Con la ayuda de un compás, construimos un círculo de radio igual a la longitud del segmento AB, con centro en el punto O. Este círculo cortará el rayo dado OS en algún punto D. El segmento OD es el segmento deseado.
Lista de literatura usada:
- Geometría. Grados 7-9: libro de texto. para educación general organizaciones / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev y otros - M.: Educación, 2013. - 383 p.: enfermo.
- Gavrilova N. F. Desarrollo de Pourochnye en geometría Grado 7. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Para ayudar al maestro de escuela).
- Belitskaya O. V. Geometría. Séptimo grado. Parte 1. Pruebas. - Saratov: Liceo, 2014. - 64 p.
En problemas de construcción, un compás y una regla se consideran herramientas ideales, en particular, una regla no tiene divisiones y tiene solo un lado de longitud infinita, y un compás puede tener una abertura arbitrariamente grande o arbitrariamente pequeña.
Construcciones permitidas. En las tareas de construcción se permiten las siguientes operaciones:
1. Marca un punto:
- punto arbitrario del plano;
- un punto arbitrario en una línea dada;
- un punto arbitrario en un círculo dado;
- el punto de intersección de dos líneas dadas;
- puntos de intersección/tangencia de una recta dada y un círculo dado;
- puntos de intersección/tangencia de dos círculos dados.
2. Usando una regla, puedes construir una línea recta:
- línea recta arbitraria en el plano;
- una línea arbitraria que pasa por un punto dado;
- recta que pasa por dos puntos dados.
3. Usando una brújula, puedes construir un círculo:
- círculo arbitrario en el plano;
- un círculo arbitrario centrado en un punto dado;
- un círculo arbitrario con un radio igual a la distancia entre dos puntos dados;
- un círculo con centro en un punto dado y con un radio igual a la distancia entre dos puntos dados.
Resolver problemas de construcción. La solución del problema de la construcción contiene tres partes esenciales:
- Descripción del método de construcción del objeto deseado.
- Prueba de que el objeto construido de la manera descrita es realmente el deseado.
- Análisis del método de construcción descrito para su aplicabilidad a diferentes variantes de condiciones iniciales, así como para la unicidad o no de la solución obtenida por el método descrito.
Construcción de un segmento igual a uno dado. Sea dado un rayo con origen en el punto $O$ y un segmento $AB$. Para construir un segmento $OP = AB$ en un rayo, se necesita construir un círculo con centro en el punto $O$ de radio $AB$. El punto de intersección de la semirrecta con la circunferencia será el punto deseado $P$.
Construcción de un ángulo igual a uno dado. Sea dado un rayo con origen en el punto $O$ y ángulo $ABC$. Con el centro en el punto $B$ construimos un círculo con un radio arbitrario $r$. Denota los puntos de intersección del círculo con los rayos $BA$ y $BC$ $A"$ y $C"$ respectivamente.
Construyamos un círculo con centro en el punto $O$ de radio $r$. Denote el punto de intersección del círculo con el rayo por $P$. Construyamos una circunferencia con centro en el punto $P$ de radio $A"B"$. Denote el punto de intersección de los círculos con $Q$. Dibujemos un rayo $OQ$.
Obtenemos el ángulo $POQ$ igual al ángulo $ABC$, ya que los triángulos $POQ$ y $ABC$ son iguales en tres lados.
Construcción de una bisectriz perpendicular a un segmento. Construimos dos círculos que se cortan de radio arbitrario con centros en los extremos del segmento. Conectando los dos puntos de su intersección, obtenemos la bisectriz perpendicular.
Construcción de la bisectriz de un ángulo. Dibujemos un círculo de radio arbitrario con el centro en el vértice de la esquina. Construyamos dos círculos que se cortan de radio arbitrario con centros en los puntos de intersección del primer círculo con los lados del ángulo. Conectando el vértice del ángulo a cualquiera de los puntos de intersección de estos dos círculos, obtenemos la bisectriz del ángulo.
Construcción de la suma de dos segmentos. Para construir un segmento en un rayo dado igual a la suma de dos segmentos dados, es necesario aplicar el método de construir un segmento igual a uno dado dos veces.
Construcción de la suma de dos ángulos. Para posponer de un rayo dado un ángulo igual a la suma de dos ángulos dados, es necesario aplicar el método de construir dos veces un ángulo igual a uno dado.
Encontrar el punto medio de un segmento. Para marcar el punto medio de un segmento determinado, debe construir una mediana perpendicular al segmento y marcar el punto de intersección de la perpendicular con el segmento mismo.
Construcción de una recta perpendicular por un punto dado. Sea necesario construir una recta perpendicular a la dada y que pase por el punto dado. Dibujamos un círculo de radio arbitrario con centro en un punto dado (independientemente de si se encuentra en una línea recta o no), que corta una línea recta en dos puntos. Construimos una bisectriz perpendicular al segmento con extremos en los puntos de intersección del círculo con la línea. Esta será la línea perpendicular deseada.
Construir una recta paralela a través de un punto dado. Sea necesario construir una recta paralela a una dada y que pase por un punto dado fuera de la recta. Construimos una línea que pasa por un punto dado y es perpendicular a una línea dada. Luego construimos una línea recta que pasa por este punto, perpendicular a la perpendicular construida. La recta así obtenida será la requerida.
