Signo de semejanza de triángulos rectángulos
Primero introduzcamos el signo de semejanza de los triángulos rectángulos.
Teorema 1
Signo de semejanza de triángulos rectángulos: dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen cada uno un ángulo agudo igual (Fig. 1).
Figura 1. Triángulos rectángulos semejantes
Prueba.
Supongamos que $\angle B=\angle B_1$. Como los triángulos son rectángulos, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Por tanto, son semejantes según el primer signo de la semejanza de los triángulos.
El teorema ha sido probado.
Teorema de la altura en un triángulo rectángulo
Teorema 2
La altura de un triángulo rectángulo dibujado desde el vértice del ángulo recto divide el triángulo en dos triángulos rectángulos similares, cada uno de los cuales es similar al triángulo dado.
Prueba.
Tengamos un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto $C$. Dibujar la altura $CD$ (Fig. 2).
Figura 2. Ilustración del Teorema 2
Probemos que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes al triángulo $ABC$ y que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes.
Como $\angle ADC=(90)^0$, el triángulo $ACD$ tiene un ángulo recto. Los triángulos $ACD$ y $ABC$ tienen un ángulo común $A$, por lo tanto, por el Teorema 1, los triángulos $ACD$ y $ABC$ son semejantes.
Como $\angle BDC=(90)^0$, el triángulo $BCD$ tiene un ángulo recto. Los triángulos $BCD$ y $ABC$ tienen un ángulo común $B$, por lo tanto, por el Teorema 1, los triángulos $BCD$ y $ABC$ son semejantes.
Considere ahora los triángulos $ACD$ y $BCD$
\[\ángulo A=(90)^0-\ángulo ACD\] \[\ángulo BCD=(90)^0-\ángulo ACD=\ángulo A\]
Por tanto, por el Teorema 1, los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes.
El teorema ha sido probado.
Promedio proporcional
Teorema 3
La altura de un triángulo rectángulo, trazada a partir del vértice del ángulo recto, es la media proporcional de los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa de este triángulo.
Prueba.
Por el Teorema 2, tenemos que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes, por lo tanto
El teorema ha sido probado.
Teorema 4
El cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura trazada desde el vértice del ángulo.
Prueba.
En la demostración del teorema, usaremos la notación de la Figura 2.
Por el Teorema 2, tenemos que los triángulos $ACD$ y $ABC$ son semejantes, por tanto
El teorema ha sido probado.
Lección 40 C. b. una. H. C. a.c. H ac. A. V. La altura de un triángulo rectángulo, dibujada desde el vértice de un ángulo recto, divide el triángulo en 2 triángulos rectángulos similares, cada uno de los cuales es similar a un triángulo dado. Signo de semejanza de triángulos rectángulos. Dos triángulos rectángulos son semejantes si cada uno tiene el mismo ángulo agudo. El segmento XY se denomina media proporcional (media geométrica) de los segmentos AB y CD si la Propiedad 1. La altura de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice del ángulo recto es la media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Propiedad 2. El cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.
Diapositiva 28 de la presentación "Geometría "Triángulos semejantes"". El tamaño del archivo con la presentación es de 232 KB.Geometría Grado 8
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Signo de semejanza de triángulos rectángulos
Primero introduzcamos el signo de semejanza de los triángulos rectángulos.
Teorema 1
Signo de semejanza de triángulos rectángulos: dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen cada uno un ángulo agudo igual (Fig. 1).
Figura 1. Triángulos rectángulos semejantes
Prueba.
Supongamos que $\angle B=\angle B_1$. Como los triángulos son rectángulos, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Por tanto, son semejantes según el primer signo de la semejanza de los triángulos.
El teorema ha sido probado.
Teorema de la altura en un triángulo rectángulo
Teorema 2
La altura de un triángulo rectángulo dibujado desde el vértice del ángulo recto divide el triángulo en dos triángulos rectángulos similares, cada uno de los cuales es similar al triángulo dado.
Prueba.
Tengamos un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto $C$. Dibujar la altura $CD$ (Fig. 2).
Figura 2. Ilustración del Teorema 2
Probemos que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes al triángulo $ABC$ y que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes.
Como $\angle ADC=(90)^0$, el triángulo $ACD$ tiene un ángulo recto. Los triángulos $ACD$ y $ABC$ tienen un ángulo común $A$, por lo tanto, por el Teorema 1, los triángulos $ACD$ y $ABC$ son semejantes.
Como $\angle BDC=(90)^0$, el triángulo $BCD$ tiene un ángulo recto. Los triángulos $BCD$ y $ABC$ tienen un ángulo común $B$, por lo tanto, por el Teorema 1, los triángulos $BCD$ y $ABC$ son semejantes.
Considere ahora los triángulos $ACD$ y $BCD$
\[\ángulo A=(90)^0-\ángulo ACD\] \[\ángulo BCD=(90)^0-\ángulo ACD=\ángulo A\]
Por tanto, por el Teorema 1, los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes.
El teorema ha sido probado.
Promedio proporcional
Teorema 3
La altura de un triángulo rectángulo, trazada a partir del vértice del ángulo recto, es la media proporcional de los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa de este triángulo.
Prueba.
Por el Teorema 2, tenemos que los triángulos $ACD$ y $BCD$ son semejantes, por lo tanto
El teorema ha sido probado.
Teorema 4
El cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura trazada desde el vértice del ángulo.
Prueba.
En la demostración del teorema, usaremos la notación de la Figura 2.
Por el Teorema 2, tenemos que los triángulos $ACD$ y $ABC$ son semejantes, por tanto
El teorema ha sido probado.
Objetivos de la lección:
- introducir el concepto de media proporcional (media geométrica) de dos segmentos;
- considere el problema de los segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo: una propiedad de la altura de un triángulo rectángulo dibujado desde el vértice de un ángulo recto;
- formar habilidades de los estudiantes en el uso del tema estudiado en el proceso de resolución de problemas.
Tipo de lección: lección aprendiendo material nuevo.
Plan:
- Momento organizativo.
- Actualización de conocimientos.
- Estudiando la propiedad de la altura de un triángulo rectángulo trazado a partir del vértice de un ángulo recto:
- etapa preparatoria;
- Introducción;
- asimilación. - Introducción del concepto de media proporcional a dos segmentos.
- Asimilación del concepto de la media proporcional de dos segmentos.
- Prueba de las consecuencias:
- la altura de un triángulo rectángulo, trazada a partir del vértice del ángulo recto, es la media proporcional entre los segmentos en que se divide la hipotenusa por esta altura;
- el cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y el segmento de hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura. - Resolución de problemas.
- Resumiendo.
- Establecer la tarea.
durante las clases
I. ORGANIZACIÓN
Hola chicos, tomen asiento. ¿Están todos listos para la lección?
Empezamos a trabajar.
II. ACTUALIZACIÓN DE CONOCIMIENTOS
¿Qué concepto matemático importante aprendiste en lecciones anteriores? ( con el concepto de semejanza de triángulos)
- ¿Recordemos qué dos triángulos se llaman semejantes? (Dos triángulos se llaman semejantes si sus ángulos son respectivamente iguales y los lados de un triángulo son proporcionales a los lados semejantes del otro triángulo)
¿Qué usamos para probar la semejanza de dos triángulos? (
- Haz una lista de estos signos. (formular tres signos de semejanza de triángulos)
tercero ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO RECTANGULAR REALIZADO A PARTIR DEL VÉRTICE DE UN ÁNGULO RECTO
a) etapa preparatoria
- Chicos, miren la primera diapositiva. ( Apéndice) Aquí hay dos triángulos rectángulos - y . y son las alturas y, respectivamente. 
.
Tarea 1. a) Determina si y son semejantes.
¿Qué usamos para probar la semejanza de los triángulos? ( signos de semejanza de triángulos)
(el primer signo, ya que no se sabe nada sobre los lados de los triángulos en el problema)
. (Dos pares: 1. ∟B= ∟B1 (líneas rectas), 2. ∟A= ∟A 1)
- Hacer una conclusión. ( por el primer signo de semejanza de triángulos ~)
Tarea 1.b) Determina si y son semejantes.
¿Qué criterio de similitud utilizaremos y por qué? (el primer signo, porque en el problema no se sabe nada sobre los lados de los triángulos)
¿Cuántos pares de ángulos iguales necesitamos encontrar? Encuentra estas parejas (porque los triángulos son rectángulos, un par de ángulos iguales es suficiente: ∟A= ∟A 1)
- Hacer una conclusión. (por el primer signo de semejanza de triángulos, concluimos que estos triángulos son semejantes).
Como resultado de la conversación, la diapositiva 1 se ve así:
b) descubrimiento del teorema
Tarea 2.
Determine si y , y son semejantes. Como resultado de la conversación se construyen respuestas, las cuales se reflejan en la diapositiva.
- La figura indicaba que . ¿Usamos esta medida de grado al responder las preguntas de las tareas? ( No, no se usa)
- Chicos, saquen una conclusión: ¿en qué triángulos la altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide al triángulo rectángulo? (hacer una conclusión)
- Surge la pregunta: ¿serán similares entre sí estos dos triángulos rectángulos, en los que la altura divide al triángulo rectángulo? Tratemos de encontrar pares de ángulos iguales.
Como resultado de la conversación, se construye un registro.:
- Y ahora hagamos una conclusión completa. ( CONCLUSIÓN: la altura de un triángulo rectángulo dibujado desde el vértice del ángulo recto divide el triángulo en dos similar
- Ese. hemos formulado y demostrado un teorema sobre la propiedad de la altura de un triángulo rectángulo.
Establezcamos la estructura del teorema y hagamos un dibujo. ¿Qué se da en el teorema y qué necesita ser probado? Los estudiantes escriben en sus cuadernos:
Demostremos el primer punto del teorema para el nuevo dibujo. ¿Qué criterio de similitud utilizaremos y por qué? (Primero, ya que no se sabe nada sobre los lados de los triángulos en el teorema)
¿Cuántos pares de ángulos iguales necesitamos encontrar? Encuentra estas parejas. (En este caso, un par es suficiente: ∟A-general)
- Hacer una conclusión. Los triángulos son similares. Como resultado, se muestra un ejemplo de la formulación del teorema
- Escribe tú mismo el segundo y tercer punto en casa.
c) asimilación del teorema
- Entonces, vuelve a formular el teorema. (La altura de un triángulo rectángulo, dibujada desde el vértice del ángulo recto, divide el triángulo en dos similar triángulos rectángulos, cada uno de los cuales es similar a este)
- ¿Cuántos pares de triángulos semejantes en la construcción "en un triángulo rectángulo la altura desde el vértice de un ángulo recto" se pueden encontrar por este teorema? ( tres parejas)
A los estudiantes se les asigna la siguiente tarea:
IV. INTRODUCCIÓN DEL CONCEPTO DE MEDIO PROPORCIONAL DE DOS LÍNEAS
Ahora vamos a aprender un nuevo concepto.
¡Atención!
Definición. Segmento de línea XY llamado promedio proporcional (significado geometrico) entre segmentos AB y CD, Si
(escribir en cuaderno).
V. ASOCIACIÓN DEL CONCEPTO DE MEDIO PROPORCIONAL DE DOS LÍNEAS
Ahora pasemos a la siguiente diapositiva.
Ejercicio 1. Encuentre la longitud de los segmentos proporcionales promedio MN y KP, si MN = 9 cm, KP = 16 cm.
- ¿Qué se da en la tarea? ( Dos segmentos y sus longitudes: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
- ¿Qué necesitas encontrar? ( La longitud del promedio proporcional de estos segmentos)
- ¿Cuál es la fórmula de la media proporcional y cómo la encontramos?
(Sustituimos los datos en la fórmula y encontramos la longitud de la media prop.)
Tarea número 2. Encuentre la longitud del segmento AB si el promedio proporcional de los segmentos AB y CD es 90 cm y CD = 100 cm
- ¿Qué se da en la tarea? (la longitud del segmento CD = 100 cm y la media proporcional de los segmentos AB y CD es de 90 cm)
¿Qué se debe encontrar en el problema? ( Longitud del segmento AB)
- ¿Cómo vamos a resolver el problema? (Escribamos la fórmula para los segmentos proporcionales promedio AB y CD, expresemos la longitud de AB a partir de ella y sustituyamos los datos del problema).
VI. CONCLUSIÓN
- Bien hecho muchachos. Y ahora volvamos a la similitud de los triángulos, demostrada por nosotros en el teorema. Repita el teorema. ( La altura de un triángulo rectángulo dibujado desde el vértice del ángulo recto divide el triángulo en dos similar triángulos rectángulos, cada uno de los cuales es similar a un)
- Primero usemos la semejanza de triángulos y . ¿Qué se sigue de esto? ( Por definición de similitud, los lados son proporcionales a los lados similares)
- ¿Qué igualdad se obtendrá al utilizar la propiedad básica de la proporción? ()
– Expresar CD y sacar una conclusión (
;
.
Conclusión: la altura de un triángulo rectángulo, trazada desde el vértice del ángulo recto, es la media proporcional entre los segmentos en que se divide la hipotenusa por esta altura)
- Y ahora prueba por ti mismo que el cateto de un triángulo rectángulo es el promedio proporcional entre la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura. Hallamos a partir de - ... los segmentos en que se divide la hipotenusa por esta altura )
El cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre... (- ... la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa encerrado entre este cateto y la altura )
– ¿Dónde aplicamos las afirmaciones aprendidas? ( Al resolver problemas)
IX. ESTABLECER LA TAREA
d/z: No. 571, No. 572 (a, e), trabajo independiente en un cuaderno, teoría.
Hoy, su atención está invitada a otra presentación sobre un tema asombroso y misterioso: la geometría. En esta presentación, le presentaremos una nueva propiedad de las formas geométricas, en particular, el concepto de segmentos proporcionales en triángulos rectángulos.
Primero necesitas recordar ¿Qué es un triángulo? Este es el polígono más simple, que consta de tres vértices conectados por tres segmentos. Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de los ángulos es de 90 grados. Ya se ha familiarizado con ellos con más detalle en nuestros materiales de capacitación anteriores presentados a su atención.
Entonces, volviendo a nuestro tema de hoy, denotamos que la altura de un triángulo rectángulo, dibujado desde un ángulo de 90 grados, lo divide en dos triángulos, que son similares entre sí y con el original. Todos los dibujos y gráficos que le interesan se encuentran en la presentación propuesta, y le recomendamos que los consulte acompañando la explicación descrita.
Un ejemplo gráfico de la tesis anterior se puede ver en la segunda diapositiva. Los triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos idénticos. Si especifica con más detalle, entonces la altura bajada a la hipotenusa forma un ángulo recto con ella, es decir, ya hay ángulos idénticos, y cada uno de los ángulos formados también tiene un ángulo común como original. El resultado son dos ángulos iguales entre sí. Es decir, los triángulos son semejantes.
¿Denotemos también qué significa el concepto de “media proporcional” o “media geométrica” por sí mismo? Este es un cierto segmento XY para los segmentos AB y CD cuando es igual a la raíz cuadrada del producto de sus longitudes.
De donde también se sigue que el cateto de un triángulo rectángulo es la media geométrica entre la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa, es decir, el otro cateto.
Otra propiedad de un triángulo rectángulo es que su altura, dibujada desde un ángulo de 90º, es la media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Si hace referencia a la presentación y otros materiales que se le han llamado la atención, verá que hay una prueba de esta tesis en una forma muy sencilla y accesible. Anteriormente ya hemos demostrado que los triángulos resultantes son similares entre sí y con el triángulo original. Luego, usando la razón de los catetos de estas figuras geométricas, llegamos a la conclusión de que la altura de un triángulo rectángulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada del producto de los segmentos que se formaron como resultado de bajar la altura desde el ángulo recto del triángulo original.
Lo último en la presentación es que el cateto de un triángulo rectángulo es la media geométrica de la hipotenusa y su segmento ubicado entre el cateto y la altura dibujada desde un ángulo igual a 90 grados. Este caso debe considerarse desde el lado en que estos triángulos son semejantes entre sí, y el cateto de uno de ellos se obtiene por la hipotenusa del otro. Pero conocerá esto con más detalle estudiando los materiales propuestos.
