La longitud, como ya se señaló, está indicada por el signo del módulo.
Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Si se dan dos puntos en el espacio y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Nota:Las fórmulas seguirán siendo correctas si se intercambian las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar
Ejemplo 3
Solución: según la fórmula correspondiente:
Responder:
Para mayor claridad, haré un dibujo.
Segmento de línea - no es un vector, y no puedes moverlo a ningún lado, por supuesto. Además, si completas el dibujo a escala: 1 unidad. \u003d 1 cm (dos celdas de tétrada), luego la respuesta se puede verificar con una regla regular midiendo directamente la longitud del segmento.
Sí, la solución es corta, pero tiene un par más puntos importantes Me gustaría aclarar:
Primero, en la respuesta establecemos la dimensión: "unidades". La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, la formulación general será una solución matemáticamente competente: "unidades" - abreviado como "unidades".
Segundo, repitamos material escolar, que es útil no solo para el problema considerado:
prestar atención a truco técnico importante – sacando el multiplicador de debajo de la raiz. Como resultado de los cálculos, obtuvimos el resultado y un buen estilo matemático consiste en sacar el multiplicador de debajo de la raíz (si es posible). El proceso se ve así con más detalle: Por supuesto, dejar la respuesta en el formulario no será un error, pero definitivamente es un defecto y un argumento de peso para ser quisquilloso por parte del profesor.
Aquí hay otros casos comunes:
A menudo se obtiene un número suficientemente grande debajo de la raíz, por ejemplo. ¿Cómo ser en tales casos? En la calculadora, verificamos si el número es divisible por 4:. Sí, estaba completamente dividido, así: . ¿O tal vez el número se puede dividir por 4 nuevamente? . De este modo: . El último dígito del número es impar, por lo que dividir por 4 por tercera vez claramente no es posible. Tratando de dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.
Conclusión: si debajo de la raíz obtenemos un número completamente no extraíble, entonces tratamos de sacar el factor debajo de la raíz; en la calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.
En el curso de la resolución de varios problemas, a menudo se encuentran raíces, siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una puntuación más baja y problemas innecesarios para finalizar sus soluciones de acuerdo con el comentario del maestro.
Repitamos el cuadrado de las raíces y otras potencias al mismo tiempo:
Reglas para acciones con grados en vista general se puede encontrar en un libro de texto escolar sobre álgebra, pero creo que todo o casi todo ya está claro a partir de los ejemplos dados.
Tarea para solución independiente con un segmento en el espacio:
Ejemplo 4
Dados los puntos y . Encuentra la longitud del segmento.
Solución y respuesta al final de la lección.
traeré ejemplo detallado, cómo puede determinar la longitud del segmento de acuerdo con las coordenadas dadas, utilizando el servicio en línea en el sitio Examen Ru.
Digamos que necesitas encontrar la longitud de un segmento en un plano
(en el espacio, puede calcular por analogía, solo necesita cambiar el punto a la dimensión de tres)
El segmento AB tiene extremos con coordenadas A (1, 2) y B (3, 4).
Para calcular la longitud del segmento AB siga los siguientes pasos:
1. Vaya a la página de servicio para encontrar la distancia entre dos puntos en línea:
Podemos usar esto, porque la longitud del segmento a lo largo de la coordenada. es exactamente igual a la distancia entre los puntos A y B.
Para establecer la dimensión correcta del punto A, arrastre el borde inferior derecho hacia la izquierda, como se muestra en la fig.
Después de ingresar las coordenadas del primer punto A (1, 2), luego presione el botón
3. En el segundo paso, verá un formulario para ingresar el segundo punto B, ingrese sus coordenadas, como en la Fig. abajo:
¡Los puntos a y b están ingresados! Solución:
| puntos dados a = | y b= |
Encuentra la distancia entre los puntos (s)
Medir una línea significa encontrar su longitud. Largo del corte es la distancia entre sus extremos.
Los segmentos se miden comparando este segmento con otro segmento tomado como unidad de medida. El segmento tomado como unidad de medida se llama segmento único.
Si se toma un centímetro como un solo segmento, para determinar la longitud de este segmento, debe averiguar cuántas veces se coloca un centímetro en este segmento. En este caso, es conveniente medir con una regla de centímetros.
Dibujemos un segmento AB y medir su longitud. Aplicar la escala de la regla en centímetros al segmento AB para que su punto cero (0) coincida con el punto A:
Si resulta que el punto B coincide con alguna división de la escala, por ejemplo, 5, luego dicen: la longitud del segmento AB igual a 5 cm, y escribe: AB= 5 cm.
Propiedades de medición de línea
Cuando un punto divide un segmento en dos partes (dos segmentos), la longitud de todo el segmento es igual a la suma de las longitudes de estos dos segmentos.
Considere el segmento AB:
Punto C lo divide en dos segmentos: C.A. y CB. Vemos eso C.A.= 3 centímetros, CB= 4cm y AB= 7 cm Por lo tanto, C.A. + CB = AB.
Cualquier segmento tiene una cierta longitud mayor que cero.
La longitud, como ya se señaló, está indicada por el signo del módulo.
Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Si se dan dos puntos en el espacio y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Nota: Las fórmulas seguirán siendo correctas si se reorganizan las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar
Ejemplo 3
Solución: según la fórmula correspondiente:
Responder: 
Para mayor claridad, haré un dibujo. 
Segmento de línea - no es un vector, y no puedes moverlo a ningún lado, por supuesto. Además, si completas el dibujo a escala: 1 unidad. \u003d 1 cm (dos celdas de tétrada), luego la respuesta se puede verificar con una regla regular midiendo directamente la longitud del segmento.
Sí, la solución es corta, pero hay un par de puntos importantes que me gustaría aclarar:
Primero, en la respuesta establecemos la dimensión: "unidades". La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, la formulación general será una solución matemáticamente competente: "unidades" - abreviado como "unidades".
En segundo lugar, repitamos el material escolar, que es útil no solo para el problema considerado:
prestar atención a truco técnico importante – sacando el multiplicador de debajo de la raiz. Como resultado de los cálculos, obtuvimos el resultado y un buen estilo matemático consiste en sacar el multiplicador de debajo de la raíz (si es posible). El proceso se ve así con más detalle: 
. Por supuesto, dejar la respuesta en el formulario no será un error, pero definitivamente es un defecto y un argumento de peso para ser quisquilloso por parte del profesor.
Aquí hay otros casos comunes: 
A menudo se obtiene un número suficientemente grande debajo de la raíz, por ejemplo. ¿Cómo ser en tales casos? En la calculadora, comprobamos si el número es divisible por 4:. Sí, dividir por completo, por lo tanto: 
. ¿O tal vez el número se puede dividir por 4 nuevamente? . De este modo: 
. El último dígito del número es impar, por lo que dividir por 4 por tercera vez claramente no es posible. Tratando de dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.
Conclusión: si debajo de la raíz obtenemos un número completamente no extraíble, entonces tratamos de sacar el factor debajo de la raíz; en la calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.
En el curso de la resolución de varios problemas, a menudo se encuentran raíces, siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una puntuación más baja y problemas innecesarios para finalizar sus soluciones de acuerdo con el comentario del maestro.
Repitamos el cuadrado de las raíces y otras potencias al mismo tiempo: 
Las reglas para acciones con grados en forma general se pueden encontrar en un libro de texto escolar sobre álgebra, pero creo que todo o casi todo ya está claro a partir de los ejemplos dados.
Tarea para una solución independiente con un segmento en el espacio:
Ejemplo 4
Dados los puntos y . Encuentra la longitud del segmento.
Solución y respuesta al final de la lección.
En este artículo, hablaremos sobre cómo encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos. Primero daremos conceptos necesarios, luego obtenemos fórmulas para encontrar las coordenadas del medio del segmento, en conclusión consideramos las soluciones de ejemplos y problemas típicos.
Navegación de página.
El concepto de la mitad de un segmento.
Para introducir el concepto de punto medio de un segmento, necesitamos definiciones de un segmento y su longitud.
El concepto de segmento se da en las lecciones de matemáticas en el quinto grado de la escuela secundaria de la siguiente manera: si tomamos dos puntos A y B arbitrarios que no coinciden, les adjuntamos una regla y trazamos una línea de A a B (o de B a A), entonces obtenemos segmento AB(o segmento B A). Los puntos A y B se llaman los extremos del segmento. Debemos tener en cuenta que el segmento AB y el segmento BA son el mismo segmento.
Si el segmento AB se extiende infinitamente en ambas direcciones desde los extremos, entonces obtenemos línea recta AB(o VA directa). El segmento AB es la parte de la recta AB encerrada entre los puntos A y B. Así, el segmento AB es la unión de los puntos A, B y el conjunto de todos los puntos de la recta ABubicados entre los puntos A y B. Si tomamos un punto arbitrario M de la recta AB situado entre los puntos A y B, entonces dicen que el punto M mentiras en el segmento AB.
Longitud del segmento AB es la distancia entre los puntos A y B en una escala dada (segmento de unidad de longitud). La longitud del segmento AB se denotará como .
Definición.
Punto c se llama el medio del segmento AB si se encuentra sobre el segmento AB y está a la misma distancia de sus extremos.
Es decir, si el punto C es el punto medio del segmento AB, entonces se encuentra sobre él y.
Además, nuestra tarea será encontrar las coordenadas del medio del segmento AB si las coordenadas de los puntos A y B se dan en la línea de coordenadas o en un sistema de coordenadas rectangulares.
La coordenada del punto medio del segmento en la línea de coordenadas.
Dándonos una línea coordenada Ox y dos puntos A y B no coincidentes en ella, que corresponden a numeros reales y . Sea el punto C el punto medio del segmento AB. Encontremos la coordenada del punto C.
Como el punto C es el punto medio del segmento AB, entonces la igualdad es verdadera. En la sección sobre la distancia de un punto a otro punto en una línea de coordenadas, mostramos que la distancia entre puntos es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, por lo tanto, . Después 
o 
. De la igualdad encuentre la coordenada del punto medio del segmento AB en la línea de coordenadas: 
- es igual a la mitad de la suma de las coordenadas de los extremos del segmento. De la segunda igualdad obtenemos , lo cual es imposible, ya que tomamos los puntos A y B que no coinciden.
Asi que, la fórmula para encontrar la coordenada del punto medio del segmento AB con extremos y tiene la forma .
Coordenadas del punto medio de un segmento de recta.
Introduzcamos un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Оxyz en el plano. Se nos dan dos puntos y sabemos que el punto C es el punto medio del segmento AB. Encontremos las coordenadas y los puntos C.
Por construcción, recto 
rectas paralelas y paralelas 
, por lo tanto, por teorema de Tales de la igualdad de los segmentos AC y CB se sigue la igualdad de los segmentos y , así como de los segmentos y . Por tanto, el punto es el punto medio del segmento, y el punto medio del segmento. Entonces, en virtud del párrafo anterior de este artículo y 
.
De acuerdo con estas fórmulas, es posible calcular las coordenadas del medio del segmento AB en los casos en que los puntos A y B se encuentran en uno de los ejes de coordenadas o en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. Dejemos estos casos sin comentarios y demos ilustraciones gráficas.
De este modo, el punto medio del segmento AB en un plano con extremos en puntos y tiene coordenadas 
.
Coordenadas del medio del segmento en el espacio.
Sea un sistema de coordenadas rectangular Oxyz introducido en el espacio tridimensional y dos puntos 
y 
. Obtenemos fórmulas para encontrar las coordenadas del punto C, que es el punto medio del segmento AB.
Consideremos el caso general.
Sean y las proyecciones de los puntos A, B y C sobre los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz, respectivamente.
Por el teorema de Tales, por lo tanto, los puntos son los puntos medios de los segmentos 
respectivamente. Entonces (ver el primer párrafo de este artículo). Así que tenemos fórmulas para calcular las coordenadas del medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos en el espacio.
Estas fórmulas también se pueden aplicar en los casos en que los puntos A y B se encuentran en uno de los ejes de coordenadas o en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, y también si los puntos A y B se encuentran en uno de los ejes de coordenadas. planos de coordenadas o en un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas.
Las coordenadas del medio del segmento a través de las coordenadas de los radios vectores de sus extremos.
Las fórmulas para encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento son fáciles de obtener consultando el álgebra de vectores.
Sea un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Oxy en el plano y el punto C sea el punto medio del segmento AB, y y .
Según la definición geométrica de operaciones sobre vectores, la igualdad 
(el punto C es el punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo construido sobre vectores y , es decir, el punto C es el punto medio de la diagonal del paralelogramo). En el artículo coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas rectangulares, encontramos que las coordenadas del radio vector de un punto son iguales a las coordenadas de este punto, por lo tanto, 
. Entonces, después de realizar las operaciones correspondientes sobre vectores en coordenadas , tenemos . ¿Cómo podemos concluir que el punto C tiene coordenadas .
Absolutamente similar, las coordenadas del medio del segmento AB se pueden encontrar a través de las coordenadas de sus extremos en el espacio. En este caso, si C es el punto medio del segmento AB y , entonces tenemos 
.
Encontrar las coordenadas del medio del segmento, ejemplos, soluciones.
En muchos problemas, tienes que usar fórmulas para encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento. Consideremos soluciones de los ejemplos más característicos.
Comencemos con un ejemplo que solo necesita aplicar una fórmula.
Ejemplo.
Las coordenadas de dos puntos están dadas en el plano 
. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Solución.
Sea el punto C el punto medio del segmento AB. Sus coordenadas son iguales a las semisumas de las coordenadas correspondientes de los puntos A y B: 
Así, el punto medio del segmento AB tiene coordenadas.
