Koordinat ujung-ujung ruas tersebut. Pengembangan pelajaran: “Pengenalan koordinat kartesius di ruang angkasa

  • Koordinat titik tengah ruas tersebut.

Tujuan Pelajaran

  • Perluas cakrawala konsep Anda.
  • Kenali definisi baru dan ingat beberapa definisi yang sudah dipelajari.
  • Belajar menerapkan sifat-sifat bentuk ketika memecahkan masalah.
  • Perkembangan – untuk mengembangkan perhatian siswa, ketekunan, ketekunan, pemikiran logis, ucapan matematika.
  • Edukasi – melalui pembelajaran menumbuhkan sikap penuh perhatian terhadap sesama, menanamkan kemampuan mendengarkan kawan, gotong royong, dan kemandirian.

Tujuan Pelajaran

  • Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar

  1. Perkenalan.
  2. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.
  3. Koordinat titik tengah ruas tersebut.
  4. Masalah logika.

perkenalan

Sebelum beralih ke materi tentang topik itu sendiri, saya ingin membahas sedikit tentang segmen tidak hanya sebagai definisi matematis. Banyak ilmuwan telah mencobanya melihat segmen tersebut secara berbeda, melihat sesuatu yang tidak biasa dalam dirinya. Beberapa berbakat seniman membuat bentuk geometris menyampaikan suasana hati dan emosi.

Ada banyak teori tentang bagaimana warna mempengaruhi suasana hati kita dan alasannya.

Warna bisa dirasakan dan erat kaitannya dengan emosi kita. Warna alam, arsitektur, tumbuhan, pakaian di sekitar kita lambat laun mempengaruhi suasana hati kita.

Menurut para ahli, warna bisa mempengaruhi seseorang.

  • Merah warna dapat mengangkat semangat Anda dan memberi Anda kekuatan.
  • Merah Jambu warnanya melambangkan kedamaian dan ketenangan.
  • Oranye adalah warna hangat dan gelisah yang memberi energi dan meningkatkan mood.
  • Di Kekaisaran Tiongkok kuning dianggap sebagai warna sakral sehingga hanya kaisar yang boleh mengenakan pakaian kuning. Orang Mesir dan Maya menganggap kuning sebagai warna Matahari dan memuja kekuatannya yang dapat menopang kehidupan. Bunga kuning dapat menyegarkan dan membawa kegembiraan saat Anda sedang tidak enak badan.
  • Hijau- warna penyembuhan. Menimbulkan perasaan keseimbangan dan harmoni.
  • Biru meningkatkan kreativitas.
  • Ungu- warna perhatian, spiritualitas dan kedamaian. Hal ini terkait dengan intuisi dan kepedulian terhadap orang lain.
  • Putih biasanya dianggap sebagai warna kemurnian dan kepolosan. Hal ini juga terkait dengan inspirasi, wawasan, spiritualitas dan cinta.

Tapi ada begitu banyak orang dan banyak pendapat. Setiap orang mempunyai kebenarannya masing-masing.

Ada juga teori menarik tentang bagaimana hal ini terhubung bentuk garis atau ruas dengan karakternya.

Bentuk, seperti warna, adalah properti suatu objek. Membentuk- ini adalah garis luar dari objek yang terlihat, yang mencerminkan aspek spasialnya (forma, diterjemahkan dari bahasa Latin - penampilan luar). Segala sesuatu yang ada di sekitar kita memiliki bentuk tertentu. Memahami dan menggambarkan struktur struktural dan isi semantiknya adalah tugas seniman. Dan kita sebagai pemirsa harus mampu membaca gambar, menguraikan hakikat dan makna dari berbagai bentuk. Pada selembar kertas dan layar komputer, suatu bentuk terbentuk ketika sebuah garis ditutup. Oleh karena itu, sifat suatu bentuk bergantung pada sifat garis yang membentuknya.

Manakah dari kalimat berikut yang dapat mengungkapkan ketenangan, kemarahan, ketidakpedulian, kegembiraan, kegembiraan?

Tidak ada jawaban yang jelas dalam kasus ini. Misalnya, garis berduri dapat mengekspresikan kemarahan, rasa sombong, atau kegembiraan liar yang mendekati kecerobohan.

Suasana hati atau emosi apa yang sesuai dengan masing-masing baris ini?

Bagaimana suatu bentuk bergantung pada sifat garis yang membentuknya?

Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya

Di ruang hampa

Ada dua titik sembarang A1(x 1 ;y 1 ;z 1) dan A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Maka titik tengah ruas A1A2 akan menjadi titiknya DENGAN dengan koordinat x, y, z, dimana


Membagi suatu segmen dengan perbandingan tertentu

Jika x 1 dan y 1 adalah koordinat titik A, dan x 2 dan y 2 adalah koordinat titik B, maka koordinat x dan y titik C yang membagi ruas AB terhadap , ditentukan dengan rumus

Luas segitiga berdasarkan koordinat titik-titik sudutnya yang diketahui A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) dihitung dengan rumus.

Angka yang diperoleh dengan menggunakan rumus ini harus diambil dalam nilai absolut.

Contoh No.1

Temukan titik tengah segmen AB.


Menjawab: Koordinat titik tengah ruas tersebut adalah (1,5;2)

Contoh No.2.

Temukan titik tengah segmen AB.

Menjawab: Koordinat titik tengah ruas tersebut adalah (21;0)

Contoh No.3.

Tentukan koordinat titik C jika AC=5,5 dan CB=19,5.

SEBUAH(1;7), B(43;-4)


Menjawab: Koordinat titik C(10.24;4.58)

Tugas

Tugas No.1

Temukan titik tengah segmen DB.


Tugas No.2.

Temukan bagian tengah segmen CD.


Bagaimana patung dibuat.

Banyak pematung terkenal dikatakan bahwa ketika ditanya bagaimana mereka bisa membuat patung yang begitu indah, jawabannya adalah: "Saya mengambil sebongkah marmer dan memotong semua yang tidak perlu darinya." Anda dapat membacanya di berbagai buku tentang Michelangelo, tentang Thorvaldsen, tentang Rodin.

Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan bangun datar geometris apa pun yang terbatas: Anda perlu mengambil beberapa persegi di mana ia berada, dan kemudian memotong semua yang tidak perlu. Namun, pemotongannya tidak perlu segera, tetapi bertahap, pada setiap langkah membuang potongan berbentuk lingkaran. Dalam hal ini, lingkaran itu sendiri dibuang, dan batasnya - lingkaran - tetap pada gambar.

Sepintas, sepertinya hanya figur jenis tertentu saja yang bisa didapatkan dengan cara ini. Namun intinya adalah mereka membuang bukan hanya satu atau dua lingkaran, melainkan lingkaran yang tak terhingga, atau lebih tepatnya, kumpulan lingkaran yang dapat dihitung. Dengan cara ini Anda bisa mendapatkan angka apa pun. Untuk meyakinkan hal ini, cukup dengan memperhitungkan bahwa himpunan lingkaran yang jari-jari dan koordinat pusatnya rasional dapat dihitung.

Dan sekarang, untuk mendapatkan bangun apa pun, cukup dengan mengambil persegi yang memuatnya (balok marmer) dan menggambar semua lingkaran jenis di atas yang tidak memuat satu titik pun dari bangun yang kita butuhkan. Jika Anda melempar lingkaran bukan dari persegi, tetapi dari seluruh bidang, maka dengan menggunakan teknik yang dijelaskan Anda bisa mendapatkan angka yang tidak terbatas.

Pertanyaan

  1. Apa itu segmen?
  2. Terdiri dari apa segmen tersebut?
  3. Bagaimana cara mencari titik tengah suatu ruas?

Daftar sumber yang digunakan

  1. Kuznetsov A.V., guru matematika (kelas 5-9), Kiev
  2. “Ujian Negara Bersatu 2006. Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk mempersiapkan siswa / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
  3. Mazur K. I. “Memecahkan masalah kompetisi utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M. I. Skanavi”
  4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan”

Kami mengerjakan pelajaran

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Tatyana Prosnyakova

Pengenalan koordinat Cartesian di ruang angkasa. Jarak antar titik. Koordinat titik tengah ruas tersebut.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: Perhatikan konsep sistem koordinat dan koordinat suatu titik dalam ruang; menurunkan rumus jarak dalam koordinat; turunkan rumus koordinat titik tengah ruas tersebut.

Pendidikan: Untuk mempromosikan pengembangan imajinasi spasial siswa; berkontribusi pada pengembangan pemecahan masalah dan pengembangan pemikiran logis siswa.

Pendidikan: Menumbuhkan aktivitas kognitif, rasa tanggung jawab, budaya komunikasi, budaya dialog.

Peralatan: Perlengkapan menggambar, presentasi, pusat desain digital

Jenis pelajaran: Pelajaran mempelajari materi baru

Struktur pelajaran:

    Waktu pengorganisasian.

    Memperbarui pengetahuan dasar.

    Mempelajari materi baru.

    Memperbarui pengetahuan baru

    Ringkasan pelajaran.

Selama kelas

    Pesan dari sejarah" Sistem koordinasi cartesian"(Pelajar)

Saat menyelesaikan masalah geometri, fisika, kimia, Anda dapat menggunakan berbagai sistem koordinat: persegi panjang, polar, silinder, bola.

Pada mata kuliah pendidikan umum dipelajari sistem koordinat persegi panjang pada bidang datar dan ruang. Jika tidak, ini disebut sistem koordinat Cartesian setelah ilmuwan filsuf Perancis Rene Descartes (1596 - 1650), yang pertama kali memperkenalkan koordinat ke dalam geometri.

(Kisah Siswa tentang Rene Descartes.)

Rene Descartes lahir pada tahun 1596 di kota Lae di selatan Perancis, dalam keluarga bangsawan. Ayah saya ingin menjadikan Rene seorang perwira. Untuk melakukan ini, pada tahun 1613 ia mengirim Rene ke Paris. Descartes harus menghabiskan waktu bertahun-tahun di ketentaraan, berpartisipasi dalam kampanye militer di Belanda, Jerman, Hongaria, Republik Ceko, Italia, dan dalam pengepungan benteng Huguenot di La Rochalie. Tapi Rene tertarik pada filsafat, fisika dan matematika. Segera setelah kedatangannya di Paris, ia bertemu dengan murid Vieta, seorang ahli matematika terkemuka pada waktu itu - Mersen, dan kemudian ahli matematika lainnya di Perancis. Selama menjadi tentara, Descartes mencurahkan seluruh waktu luangnya untuk matematika. Ia mempelajari aljabar Jerman dan matematika Perancis dan Yunani.

Setelah penangkapan La Rochalie pada tahun 1628, Descartes meninggalkan tentara. Dia menjalani kehidupan menyendiri untuk melaksanakan rencananya yang luas untuk karya ilmiah.

Descartes adalah filsuf dan matematikawan terhebat pada masanya. Karya Descartes yang paling terkenal adalah Geometri. Descartes memperkenalkan sistem koordinat yang digunakan semua orang saat ini. Dia membuat korespondensi antara angka dan segmen garis dan dengan demikian memperkenalkan metode aljabar ke dalam geometri. Penemuan Descartes ini memberikan dorongan besar bagi perkembangan geometri dan cabang matematika dan optik lainnya. Menjadi mungkin untuk menggambarkan ketergantungan besaran secara grafis pada bidang koordinat, bilangan - sebagai segmen, dan untuk melakukan operasi aritmatika pada segmen dan besaran geometris lainnya, serta berbagai fungsi. Itu adalah metode yang benar-benar baru, dibedakan oleh keindahan, keanggunan dan kesederhanaan.

    Pengulangan. Sistem koordinat persegi panjang pada bidang.

Pertanyaan:

    Apa yang disebut dengan sistem koordinat pada bidang datar?

    Bagaimana cara menentukan koordinat suatu titik pada bidang?

    Berapakah koordinat titik asal?

    Apa rumus koordinat titik tengah suatu ruas dan jarak antar titik pada suatu bidang?

    Mempelajari materi baru:

Sistem koordinat persegi panjang dalam ruang adalah trio garis koordinat yang saling tegak lurus dan mempunyai titik asal yang sama. Asal usul yang sama dilambangkan dengan hurufHAI.

Oh - sumbu absis,

Oy – sumbu ordinat,

TENTANGz– terapkan sumbu

Tiga bidang yang melalui sumbu koordinat Ox dan Oy, Oy dan Oz, TENTANGzdan Ox disebut bidang koordinat: Oxy, Oyz, TENTANGzX.

Dalam sistem koordinat persegi panjang, setiap titik M dalam ruang dikaitkan dengan tiga angka - koordinatnya.

M(x,y,z), dimana x adalah absisnya, y adalah ordinatnya,z- melamar.

Sistem koordinat dalam ruang

Koordinat titik

Jarak antar titik

1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) dan A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 )

Maka jarak antar titik A 1 dan A 2 dihitung seperti ini:

Koordinat titik tengah ruas dalam ruang

Ada dua titik sembarang A 1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) dan A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 ). Kemudian titik tengah ruas A 1 A 2 akan ada titik C dengan koordinat x, y, z, dimana

    Mendapatkan keterampilan solusi:

1) Temukan koordinat proyeksi ortogonal titik-titik tersebutA (1, 3, 4) dan

B (5, -6, 2) kepada:

sebuah pesawatOks ; b) pesawatOyz ; c) sumbuSapi ; d) sumbuOns .

Jawaban: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) Pada jarak berapa titik tersebutA (1, -2, 3) dari bidang koordinat:

A)Oks ; B)Okz ; V)Oyz ?

Jawaban: a) 3; b) 2; dalam 1

3) Temukan koordinat titik tengah segmen:

A)AB , JikaA (1, 2, 3) danB (-1, 0, 1); B)CD , JikaC (3, 3, 0) danD (3, -1, 2).

Jawaban: a) (1, 1, 2); b) (3, 1, 1).

5. Pekerjaan rumah: buku teks oleh A.V. Pogorelov “Geometri 10-11” hal.23 – 25, hal.53 menjawab pertanyaan No.1 – 3; №7, №10(1)

6. Ringkasan pelajaran.

Meja

Di permukaan

Di ruang hampa

Definisi. Sistem koordinat adalah himpunan dua sumbu koordinat yang berpotongan, titik perpotongan sumbu-sumbu tersebut - titik asal - dan segmen satuan pada masing-masing sumbu

Definisi. Sistem koordinat adalah himpunan tiga sumbu koordinat, titik perpotongan sumbu-sumbu tersebut - titik asal koordinat - dan segmen satuan pada masing-masing sumbu.

2 as,

OU - sumbu ordinat,

OX - sumbu absis

3 as,

OX - sumbu absis,

OU – sumbu ordinat,

OZ - sumbu aplikator.

OX tegak lurus terhadap OA

OX tegak lurus dengan OU,

OX tegak lurus terhadap OZ,

Op-amp tegak lurus terhadap OZ

(O;O)

(OOO)

Arah, segmen tunggal

Jarak antar titik.

Jarak antar titik

Koordinat titik tengah ruas tersebut.

Koordinat titik tengah ruas tersebut

Pertanyaan:

    Bagaimana sistem koordinat kartesius diperkenalkan? Terdiri dari apa?

    Bagaimana cara menentukan koordinat suatu titik dalam ruang?

    Berapakah koordinat titik potong sumbu koordinat tersebut?

    Berapa jarak dari titik asal ke suatu titik tertentu?

    Apa rumus koordinat titik tengah suatu ruas dan jarak antar titik dalam ruang?

Penilaian siswa

7.Refleksi

Di pelajaran

Saya menemukan …

Aku telah belajar…

Saya suka itu…

Saya merasa sulit...

Suasana hatiku…

Literatur.

    A.V. Pogorelov. Buku teks 10-11. M. “Pencerahan”, 2010.

    ADALAH. Petrakov. Klub matematika di kelas 8-10. M, “Pencerahan”, 1987

Ada seluruh kelompok tugas (termasuk dalam jenis soal ujian) yang terkait dengan bidang koordinat. Masalah-masalah tersebut mulai dari masalah yang paling mendasar yang diselesaikan secara lisan (menentukan ordinat atau absis suatu titik tertentu, atau titik simetris suatu titik tertentu, dan lain-lain), diakhiri dengan tugas-tugas yang memerlukan pengetahuan, pemahaman dan pemahaman yang berkualitas. keterampilan yang baik (masalah yang berkaitan dengan koefisien sudut garis lurus).

Secara bertahap kami akan mempertimbangkan semuanya. Pada artikel ini, kita akan mulai dengan dasar-dasarnya. Ini adalah tugas sederhana untuk menentukan: absis dan ordinat suatu titik, panjang suatu segmen, titik tengah suatu segmen, sinus atau kosinus kemiringan suatu garis lurus.Kebanyakan orang tidak akan tertarik dengan tugas-tugas ini. Tapi saya menganggap perlu untuk menyajikannya.

Faktanya tidak semua orang bersekolah. Banyak orang mengikuti Ujian Negara Bersatu 3-4 tahun atau lebih setelah lulus, dan samar-samar mereka ingat apa itu absis dan ordinat. Kami juga akan menganalisis tugas-tugas lain yang terkait dengan bidang koordinat, jangan sampai ketinggalan, berlangganan pembaruan blog. Sekarang n sedikit teori.

Mari kita buat titik A pada bidang koordinat dengan koordinat x=6, y=3.


Dikatakan absis titik A sama dengan enam, ordinat titik A sama dengan tiga.

Sederhananya, sumbu sapi adalah sumbu absis, sumbu y adalah sumbu ordinat.

Artinya, absis adalah suatu titik pada sumbu x yang ke dalamnya suatu titik tertentu pada bidang koordinat diproyeksikan; Ordinatnya adalah titik pada sumbu y yang diproyeksikan ke titik tertentu.

Panjang suatu segmen pada bidang koordinat

Rumus untuk menentukan panjang suatu ruas jika diketahui koordinat ujung-ujungnya:

Seperti yang Anda lihat, panjang suatu ruas adalah panjang sisi miring pada segitiga siku-siku yang kaki-kakinya sama panjang

X B - X A dan U B - U A

* * *

Bagian tengah segmen. Koordinatnya.


Rumus mencari koordinat titik tengah suatu ruas:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu


Rumus persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu berbentuk:

dimana (x 1;y 1) dan (x 2;y 2 ) koordinat titik-titik tertentu.

Mengganti nilai koordinat ke dalam rumus, direduksi menjadi bentuk:

kamu = kx + b, dimana k adalah kemiringan garis

Kita akan memerlukan informasi ini ketika menyelesaikan kelompok masalah lain yang berkaitan dengan bidang koordinat. Akan ada artikel tentang ini, jangan sampai ketinggalan!

Apa lagi yang bisa Anda tambahkan?

Sudut kemiringan suatu garis lurus (atau ruas) adalah sudut antara sumbu oX dan garis lurus tersebut, berkisar antara 0 sampai 180 derajat.


Mari kita pertimbangkan tugasnya.

Dari titik (6;8) sebuah garis tegak lurus dijatuhkan ke sumbu ordinat. Temukan ordinat alas tegak lurus.

Alas garis tegak lurus yang diturunkan pada sumbu ordinat akan mempunyai koordinat (0;8). Ordinatnya sama dengan delapan.

Jawaban: 8

Temukan jarak dari titik tersebut A dengan koordinat (6;8) terhadap ordinat.

Jarak titik A ke sumbu ordinat sama dengan absis titik A.

Jawaban: 6.

A(6;8) relatif terhadap sumbu Sapi.

Suatu titik yang simetris terhadap titik A terhadap sumbu oX mempunyai koordinat (6;– 8).

Ordinatnya sama dengan minus delapan.

Jawaban: – 8

Temukan ordinat suatu titik yang simetris dengan titik tersebut A(6;8) relatif terhadap asal.

Suatu titik yang simetris dengan titik A terhadap titik asal mempunyai koordinat (– 6;– 8).

Ordinatnya adalah – 8.


Jawaban: –8

Tentukan absis titik tengah ruas yang menghubungkan titik-titik tersebutHAI(0;0) dan A(6;8).


Untuk menyelesaikan masalah tersebut, perlu dicari koordinat titik tengah ruas tersebut. Koordinat ujung ruas kita adalah (0;0) dan (6;8).

Kami menghitung menggunakan rumus:

Kami mendapat (3;4). Absisnya sama dengan tiga.

Jawaban: 3

*Abssis bagian tengah suatu ruas dapat ditentukan tanpa perhitungan dengan menggunakan rumus, yaitu dengan membuat ruas tersebut pada bidang koordinat pada selembar kertas berbentuk persegi. Bagian tengah segmen akan mudah ditentukan oleh sel.

Tentukan absis titik tengah ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut A(6;8) dan B(–2;2).


Untuk menyelesaikan masalah tersebut, perlu dicari koordinat titik tengah ruas tersebut. Koordinat ujung ruas kita adalah (–2;2) dan (6;8).

Kami menghitung menggunakan rumus:

Kami mendapat (2;5). Absisnya sama dengan dua.

Jawaban: 2

*Abssis bagian tengah suatu ruas dapat ditentukan tanpa perhitungan dengan menggunakan rumus, yaitu dengan membuat ruas tersebut pada bidang koordinat pada selembar kertas berbentuk persegi.

Tentukan panjang ruas yang menghubungkan titik (0;0) dan (6;8).


Panjang segmen pada koordinat ujung-ujungnya dihitung dengan rumus:

dalam kasus kami, kami memiliki O(0;0) dan A(6;8). Cara,

*Urutan koordinat saat melakukan pengurangan tidak menjadi masalah. Anda dapat mengurangkan absis dan ordinat titik A dari absis dan ordinat titik O:

Jawaban:10

Temukan kosinus kemiringan segmen yang menghubungkan titik-titik tersebut HAI(0;0) dan A(6;8), dengan sumbu x.


Sudut kemiringan suatu ruas adalah sudut antara ruas tersebut dengan sumbu oX.

Dari titik A kita turunkan tegak lurus terhadap sumbu oX:


Artinya, sudut kemiringan suatu ruas adalah sudutSAIpada segitiga siku-siku ABO.

Kosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah

rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring

Kita perlu mencari sisi miringnyaOA.

Menurut teorema Pythagoras:Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Jadi, kosinus sudut kemiringannya adalah 0,6

Jawaban: 0,6

Dari titik (6;8) sebuah garis tegak lurus dijatuhkan ke sumbu absis. Temukan absis alas tegak lurus.

Sebuah garis lurus yang sejajar sumbu absis ditarik melalui titik (6;8). Temukan ordinat titik potongnya dengan sumbu kamu.

Temukan jarak dari titik tersebut A dengan koordinat (6;8) terhadap sumbu absis.

Temukan jarak dari titik tersebut A dengan koordinat (6;8) ke titik asal.

Misalkan A(X 1; y 1) dan B(x 2; y 2) adalah dua titik sembarang dan C (x; y) adalah titik tengah ruas AB. Cari koordinat x, y titik C.

Mari kita perhatikan dulu kasus ketika ruas AB tidak sejajar dengan sumbu y, yaitu X 1 X 2. Mari kita menggambar garis lurus melalui titik A, B, C yang sejajar dengan sumbu y (Gbr. 173). Mereka akan memotong sumbu x di titik A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). Menurut teorema Thales, titik C 1 akan menjadi titik tengah ruas A 1 B 1.

Karena titik C 1 berada di tengah ruas AiBi, maka A 1 C 1 = B 1 C 1 yang berarti Ix - X 1 I = Ix - X 2 I. Maka x - x 1 = x - x 2 , atau (x - x 1) = -(x-x 2).
Persamaan pertama tidak mungkin, karena x 1 x 2. Oleh karena itu, yang kedua adalah benar. Dan dari sini kita mendapatkan rumusnya

Jika x 1 =x 2 yaitu ruas AB sejajar sumbu y, maka ketiga titik A 1, B 1, C 1 mempunyai absis yang sama. Artinya rumus tersebut tetap benar dalam kasus ini.
Koordinat titik C ditemukan dengan cara yang sama. Melalui titik A, B, C ditarik garis lurus sejajar sumbu x. Ternyata rumusnya seperti itu

Masalah (15). Diberikan tiga simpul jajar genjang ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Temukan koordinat titik sudut keempat D dan titik potong diagonal-diagonalnya.

Larutan. Titik potong diagonal-diagonalnya adalah titik tengah masing-masing diagonalnya. Oleh karena itu merupakan titik tengah ruas AC yang artinya mempunyai koordinat

Sekarang, dengan mengetahui koordinat titik potong diagonalnya, kita cari koordinat x, y dari titik sudut keempat D. Dengan menggunakan fakta bahwa titik potong diagonalnya adalah titik tengah ruas BD, kita peroleh:

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Setelah bekerja keras, saya tiba-tiba menyadari bahwa ukuran halaman web cukup besar, dan jika terus seperti ini, maka saya bisa menjadi liar dengan tenang =) Oleh karena itu, saya sampaikan kepada Anda sebuah esai singkat yang didedikasikan untuk masalah geometri yang sangat umum - tentang membagi segmen dalam hal ini, dan, sebagai kasus khusus, tentang membagi segmen menjadi dua.

Karena satu dan lain alasan, tugas ini tidak cocok dengan pelajaran lain, tetapi sekarang ada peluang besar untuk mempertimbangkannya secara mendetail dan santai. Kabar baiknya adalah kita akan berhenti sejenak dari vektor dan fokus pada titik dan segmen.

Rumus pembagian segmen dalam hal ini

Konsep pembagian segmen dalam hal ini

Seringkali Anda tidak perlu menunggu apa yang dijanjikan sama sekali; mari kita langsung melihat beberapa poin dan, tentu saja, yang luar biasa – segmennya:

Masalah yang dipertimbangkan berlaku baik untuk segmen-segmen bidang maupun untuk segmen-segmen ruang. Artinya, segmen demonstrasi bisa ditempatkan sesuai keinginan di pesawat atau di luar angkasa. Untuk memudahkan penjelasan, saya menggambarnya secara horizontal.

Apa yang akan kita lakukan dengan segmen ini? Kali ini untuk memotong. Ada yang memotong anggaran, ada yang memotong pasangan, ada yang memotong kayu bakar, dan kita akan mulai memotong bagian tersebut menjadi dua bagian. Ruas tersebut dibagi menjadi dua bagian dengan menggunakan suatu titik tertentu, yang tentunya terletak tepat di atasnya:

Dalam contoh ini, titik membagi ruas sedemikian rupa sehingga panjang ruas tersebut adalah setengah dari panjang ruas tersebut. Anda JUGA dapat mengatakan bahwa suatu titik membagi suatu segmen dengan perbandingan (“satu banding dua”), dihitung dari titik sudutnya.

Dalam bahasa matematika kering, fakta ini ditulis sebagai berikut: , atau lebih sering dalam bentuk proporsi biasa: . Rasio segmen biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani “lambda”, dalam hal ini: .

Sangat mudah untuk menyusun proporsi dalam urutan yang berbeda: - notasi ini berarti bahwa segmen tersebut dua kali lebih panjang dari segmen tersebut, tetapi ini tidak memiliki arti mendasar untuk menyelesaikan masalah. Bisa seperti ini, atau bisa juga seperti itu.

Tentu saja, segmen tersebut dapat dengan mudah dibagi dalam beberapa hal lain, dan untuk memperkuat konsep tersebut, contoh kedua:

Di sini rasio berikut ini valid: . Jika kita membuat proporsinya sebaliknya, maka kita mendapatkan: .

Setelah kita mengetahui apa yang dimaksud dengan membagi suatu segmen dalam hal ini, kita beralih ke pertimbangan masalah-masalah praktis.

Jika diketahui dua titik pada bidang, maka koordinat titik yang membagi ruas tersebut terhadapnya dinyatakan dengan rumus:

Dari manakah rumus-rumus ini berasal? Dalam pembelajaran geometri analitik, rumus-rumus ini diturunkan secara ketat menggunakan vektor (apa jadinya kita tanpa vektor? =)). Selain itu, mereka berlaku tidak hanya untuk sistem koordinat Cartesian, tetapi juga untuk sistem koordinat affine sembarang (lihat pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Ini adalah tugas universal.

Contoh 1

Temukan koordinat titik yang membagi segmen dalam relasi tersebut jika titik-titik tersebut diketahui

Larutan: Dalam masalah ini. Dengan menggunakan rumus pembagian segmen dalam relasi ini, kita mencari titik:

Menjawab:

Perhatikan teknik perhitungannya: pertama-tama Anda perlu menghitung pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Hasilnya sering kali (tetapi tidak selalu) berupa pecahan tiga atau empat lantai. Setelah ini, kita menghilangkan struktur pecahan bertingkat dan melakukan penyederhanaan akhir.

Tugas ini tidak memerlukan gambar, tetapi selalu berguna untuk melakukannya dalam bentuk draf:



Memang hubungannya terpenuhi, yaitu segmen tersebut tiga kali lebih pendek dari segmen . Jika proporsinya tidak jelas, maka segmen-segmen tersebut selalu dapat diukur secara bodoh dengan penggaris biasa.

Sama berharganya solusi kedua: di dalamnya hitungan mundur dimulai dari suatu titik dan hubungan berikut ini adil: (dalam kata manusia, sebuah segmen tiga kali lebih panjang dari sebuah segmen ). Menurut rumus membagi segmen dalam hal ini:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam rumusnya perlu untuk memindahkan koordinat titik ke tempat pertama, karena thriller kecil dimulai dengan itu.

Jelas juga bahwa cara kedua lebih rasional karena perhitungannya lebih sederhana. Namun tetap saja, masalah ini seringkali diselesaikan dengan cara “tradisional”. Misalnya, jika suatu segmen diberikan sesuai dengan kondisi, maka diasumsikan bahwa Anda akan membuat suatu proporsi, jika suatu segmen diberikan, maka proporsi tersebut “secara diam-diam” tersirat.

Dan cara kedua saya berikan dengan alasan sering kali mereka dengan sengaja sengaja mengacaukan kondisi masalahnya. Oleh karena itu, sangat penting untuk membuat gambar kasar untuk, pertama, menganalisis kondisi dengan benar, dan kedua, untuk keperluan verifikasi. Sangat disayangkan jika melakukan kesalahan dalam tugas sederhana seperti itu.

Contoh 2

Poin diberikan . Menemukan:

a) suatu titik yang membagi segmen terhadap ;
b) suatu titik yang membagi segmen terhadap .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Terkadang ada masalah ketika salah satu ujung segmen tidak diketahui:

Contoh 3

Intinya termasuk dalam segmen tersebut. Diketahui bahwa suatu ruas mempunyai panjang dua kali ruas. Temukan intinya jika .

Larutan: Dari syarat tersebut diperoleh bahwa suatu titik membagi ruas dengan perbandingan , dihitung dari titik sudut, yaitu perbandingan yang sah: . Menurut rumus membagi segmen dalam hal ini:

Sekarang kita tidak mengetahui koordinat titiknya :, tetapi ini bukan masalah khusus, karena dapat dengan mudah dinyatakan dari rumus di atas. Tidak ada biaya apa pun untuk menyatakannya secara umum; jauh lebih mudah untuk mengganti angka-angka tertentu dan menghitung perhitungannya dengan cermat:

Menjawab:

Untuk memeriksanya, Anda dapat mengambil ujung segmen dan, dengan menggunakan rumus dalam urutan lurus, pastikan bahwa hubungannya benar-benar menghasilkan sebuah titik. Dan, tentu saja, gambarnya tidak akan berlebihan. Dan untuk akhirnya meyakinkan Anda tentang manfaat buku catatan kotak-kotak, pensil sederhana, dan penggaris, saya mengusulkan masalah rumit untuk Anda selesaikan sendiri:

Contoh 4

Dot . Segmen tersebut satu setengah kali lebih pendek dari segmen tersebut. Temukan suatu titik jika koordinat titik-titik tersebut diketahui .

Solusinya ada di akhir pelajaran. Ngomong-ngomong, ini bukan satu-satunya; jika Anda mengikuti jalur yang berbeda dari sampel, itu tidak akan menjadi kesalahan, yang utama adalah jawabannya cocok.

Untuk segmen spasial semuanya akan sama persis, hanya ditambahkan satu koordinat lagi.

Jika dua titik dalam ruang diketahui, maka koordinat titik yang membagi ruas tersebut terhadapnya dinyatakan dengan rumus:
.

Contoh 5

Poin diberikan. Tentukan koordinat suatu titik yang termasuk dalam ruas tersebut jika diketahui .

Larutan: Kondisi tersebut menyiratkan hubungan: . Contoh ini diambil dari tes nyata, dan penulisnya membiarkan dirinya sedikit mengerjai (kalau-kalau ada yang tersandung) - akan lebih rasional untuk menulis proporsi dalam kondisi seperti ini: .

Menurut rumus koordinat titik tengah ruas:

Menjawab:

Gambar 3D untuk tujuan inspeksi jauh lebih sulit dibuat. Namun, Anda selalu dapat membuat gambar skema untuk memahami setidaknya kondisi - segmen mana yang perlu dikorelasikan.

Kalau soal pecahan pada jawabannya jangan heran, itu adalah hal yang lumrah. Saya telah mengatakannya berkali-kali, tetapi saya akan mengulanginya: dalam matematika tingkat tinggi, biasanya menggunakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Jawabannya ada pada formulir boleh saja, tetapi pilihan dengan pecahan biasa lebih standar.

Tugas pemanasan untuk solusi mandiri:

Contoh 6

Poin diberikan. Tentukan koordinat titik tersebut jika diketahui membagi ruas dengan perbandingan.

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran. Jika sulit untuk menavigasi proporsi, buatlah gambar skema.

Dalam pekerjaan mandiri dan tes, contoh-contoh yang dipertimbangkan ditemukan baik secara mandiri maupun sebagai bagian integral dari tugas-tugas yang lebih besar. Dalam pengertian ini, masalah menemukan pusat gravitasi sebuah segitiga adalah tipikal.

Saya tidak melihat banyak gunanya menganalisis jenis tugas yang salah satu ujung segmennya tidak diketahui, karena semuanya akan mirip dengan kasus datar, kecuali ada lebih banyak perhitungan. Mari kita mengingat tahun-tahun sekolah kita dengan lebih baik:

Rumus koordinat titik tengah suatu ruas

Bahkan pembaca yang tidak terlatih pun dapat mengingat cara membagi segmen menjadi dua. Masalah membagi suatu segmen menjadi dua bagian yang sama besar merupakan kasus khusus dalam membagi suatu segmen dalam hal ini. Gergaji dua tangan bekerja dengan cara yang paling demokratis, dan setiap tetangga di meja mendapat tongkat yang sama:

Pada jam khusyuk ini genderang ditabuh, menyambut sebagian besar orang. Dan rumus umum secara ajaib berubah menjadi sesuatu yang familier dan sederhana:

Hal yang menarik adalah kenyataan bahwa koordinat ujung segmen dapat diatur ulang tanpa rasa sakit:

Secara umum, ruangan mewah seperti itu, seperti yang Anda pahami, tidak akan berfungsi. Dan di sini tidak ada kebutuhan khusus untuk itu, jadi ini adalah hal kecil yang menyenangkan.

Untuk kasus spasial, analoginya jelas berlaku. Jika ujung-ujung suatu ruas diketahui, maka koordinat titik tengahnya dinyatakan dengan rumus:

Contoh 7

Jajargenjang ditentukan oleh koordinat titik-titiknya. Temukan titik potong diagonal-diagonalnya.

Larutan: Bagi yang berkeinginan dapat menyelesaikan gambarnya. Saya terutama merekomendasikan grafiti kepada mereka yang benar-benar lupa pelajaran geometri sekolah mereka.

Menurut sifat yang diketahui, diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya, sehingga permasalahan dapat diselesaikan dengan dua cara.

Metode satu: Pertimbangkan simpul yang berlawanan . Dengan menggunakan rumus untuk membagi segmen menjadi dua, kita menemukan titik tengah diagonal:

Artikel serupa