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Lección relacionada:
"Teorema sobre el producto de segmentos de cuerdas que se cortan»
tema: geometría
Grado 8
profesor b: Herat Ludmila Vasilievna
Colegio : MOBU "Escuela secundaria Druzhbinskaya" Distrito de Sol-Iletsk, región de Oremburgo
Tipo de lección: Lección "descubrimiento" de nuevos conocimientos.
Formas de trabajo: individual, frontal, grupal.
Métodos de enseñanza:verbal, visual, práctico, problemático.
Equipo: clase de informática, proyector multimedia,
Folleto (tarjetas), presentación.
Objetivos de la lección:
- educativo- estudiar el teorema del producto de cuerdas que se cortan, y mostrar su aplicación en la resolución de problemas.
Mejorar las habilidades de resolución de problemas sobre la aplicación del teorema del ángulo inscrito y sus consecuencias.
- desarrollando - desarrollar la actividad creativa y mental de los alumnos en el aula; desarrollar las cualidades intelectuales de la personalidad de los escolares, como la independencia, la flexibilidad, la capacidad de acción evaluativa, la generalización; contribuir a la formación de competencias de los colectivos y Trabajo independiente; desarrollar la capacidad de expresar clara y claramente sus pensamientos.
- educativo - inculcar en los estudiantes el interés por la materia mediante el uso de la tecnología de la información (utilizando una computadora); para formar la capacidad de realizar registros matemáticos de manera precisa y competente, dibuje una imagen para el problema.
Las actividades educativas están dirigidas a mejorar la efectividad, la productividad del trabajo pedagógico mediante la transferencia de estudiantes del puesto. objeto actividades del profesor en posición el sujeto de la doctrina , contribuye al desarrollo de las potencialidades de cada niño, la revelación de las posibilidades que le son inherentes.
La crianza (desarrollo) de la subjetividad sólo es posible en actividades,en el que el sujeto está involucrado, en el que élél mismo: a) establece metas; b) concentra el esfuerzo volitivo para lograr la meta; c) reflexiona sobre el progreso y los resultados de su trabajo. La reflexión es la herramienta más poderosa para el autodesarrollo personal.(autoconstrucción de la personalidad).
El problema del desarrollo de la subjetividad del estudiante.no puede resolverse por completo con medidas puntuales. Esta cualidad se desarrollaconsistentemente al incluir al estudiante en el proceso educativo y cognitivo. actividad (idealmente en cada lección) que realiza mismo, aplicando su propios esfuerzos, su por tu cuenta, con una mínima ayuda externa, todas las acciones en su secuencia lógica. La lección brinda a los estudiantes una reflexión sobre las 4 etapas del trabajo más los resultados, cumpliendo completamente con los requisitos.enfoque de actividad En educación.
A través del diseño propuesto de la lección y el uso de la tecnología informática, se persiguen los objetivos de desarrollo:
- cultura intelectual;
- cultura de la información;
- Culturas de autoorganización;
- cultura de la investigación;
Las actividades de los estudiantes deben organizarse de tal manera que proporcionen a los estudiantes objetivos-motivos internos; la necesidad de búsqueda es la tarea más importante de la formación y la educación, para ello es necesario crear situaciones de éxito, situaciones de búsqueda que provoquen emociones positivas.
Plan de estudios
1. Demostración del teorema del ángulo inscrito (3 casos); trabajo con cartas,
Solución de problemas según dibujos confeccionados.
2. Trabajar en parejas.
3. Estudio del teorema del producto de segmentos de cuerdas que se cortan.
4. Resolución de problemas para la fijación del teorema.
Durante las clases.
- Actualizar los conocimientos de los alumnos sobre el tema objeto de estudio.
Tres estudiantes son llamados a la pizarra para demostrar teoremas, dos estudiantes reciben tarjetas de tareas, el resto de los estudiantes resuelven problemas en dibujos ya hechos. Toda la clase escucha la demostración de los teoremas después de que los estudiantes resuelven los problemas en los dibujos terminados.
número de tarjeta 1..
1. Inserta las palabras que faltan "Se dice que un ángulo está inscrito si su vértice está en …………….., y los lados del ángulo son ……………………………..”.
2. Encuentra y anota los ángulos inscritos que se muestran en la figura:
3. Encuentra la medida en grados del ángulo ABC que se muestra en la figura si la medida en grados del arco ABC = 270.
Número de tarjeta 2.
1. Inserta las palabras que faltan: “El ángulo inscrito se mide por ………….”.
- Dado: OA=AB. Encuentra la medida en grados del arco AB.
Solución de problemas según dibujos confeccionados.
Figura 1. Encuentre la figura 2. Fig. 3. Figura 4. Figura 5.
AOD, ACD Encuentra ABC Encuentra BCD Encuentra BAC Encuentra BCD
II. Trabajo en parejas.
La demostración del teorema sobre segmentos de cuerdas que se cortan se realiza en forma de problema:
Demostrar que si dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se cortan en un punto E, entonces
AE * BE = CE * DE
Se propone que la tarea se resuelva de forma independiente en parejas, para luego discutir su solución. En cuadernos y en la pizarra, anota el esquema de la demostración del teorema.
esquema del plan
a) AS DOS (A = D como ángulos inscritos basados en el arco BC;
CAE = DEB como vertical).
Temas para la discusión:
¿Qué puedes decir sobre los ángulos CAB y CDB? ¿Sobre los ángulos AEC y DEB?
¿Qué son los triángulos ACE y DBE? ¿Cuál es la razón de sus lados, que son segmentos de las cuerdas tangentes?
¿Qué igualdad se puede escribir a partir de la igualdad de dos razones usando la propiedad básica de las proporciones?
IV. Consolidación del material estudiado.
Resuelve el problema: Las cuerdas del círculo RT y KM se intersecan en el punto E. Encuentra ME si
KE = 4 cm, TE = 6 cm, PE = 2 cm.
Solución: AE * BE = CE * DE
EA * 4 = 2 * 6
AE = 3 cm.
Núm. 666 b. x*x =16*9
X * x \u003d 144
X = 12
V. Reflexión. (usando pegatinas en tres colores)
VI. Tarea.
página 71, núm. 666 a, c; 667.
\[(\Large(\text(Ángulos centrales e inscritos)))\]
Definiciones
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo.
Un ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el círculo.
La medida en grados de un arco de círculo es la medida en grados del ángulo central que descansa sobre él.
Teorema
La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta.
Prueba
Realizaremos la demostración en dos etapas: primero, probaremos la validez del enunciado para el caso en que uno de los lados del ángulo inscrito contenga un diámetro. Sea el punto \(B\) el vértice del ángulo inscrito \(ABC\) y \(BC\) el diámetro de la circunferencia:
El triángulo \(AOB\) es isósceles, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) es exterior, entonces \(\ángulo AOC = \ángulo OAB + \ángulo ABO = 2\ángulo ABC\), donde \(\ángulo ABC = 0,5\cdot\ángulo AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Ahora considere un ángulo inscrito arbitrario \(ABC\) . Dibuja el diámetro del círculo \(BD\) desde el vértice del ángulo inscrito. Dos casos son posibles:
1) el diámetro corta el ángulo en dos ángulos \(\angle ABD, \angle CBD\) (para cada uno de los cuales el teorema es verdadero como se probó anteriormente, por lo tanto también es verdadero para el ángulo original, que es la suma de estos dos y por tanto es igual a la mitad de la suma de los arcos sobre los que se apoyan, es decir, igual a la mitad del arco sobre el que se apoya). Arroz. uno.
2) el diámetro no cortó el ángulo en dos ángulos, entonces tenemos dos nuevos ángulos inscritos \(\angle ABD, \angle CBD\) , cuyo lado contiene el diámetro, por lo tanto, el teorema es cierto para ellos, entonces también es cierto para el ángulo original (que es igual a la diferencia de estos dos ángulos, lo que significa que es igual a la mitad de la diferencia de los arcos sobre los que descansan, es decir, es igual a la mitad del arco sobre el que descansan). descansa). Arroz. 2.
Consecuencias
1. Los ángulos inscritos basados en el mismo arco son iguales.
2. Un ángulo inscrito basado en un semicírculo es un ángulo recto.
3. Un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central basado en el mismo arco.
\[(\Large(\text(Tangente a la circunferencia)))\]
Definiciones
Hay tres tipos de disposición mutua de una línea y un círculo:
1) la línea \(a\) corta al círculo en dos puntos. Tal línea se llama secante. En este caso, la distancia \(d\) del centro del círculo a la línea recta es menor que el radio \(R\) del círculo (Fig. 3).
2) la línea \(b\) corta al círculo en un punto. Tal línea recta se llama tangente, y su punto común \(B\) se llama punto tangente. En este caso \(d=R\) (Fig. 4).
Teorema
1. La tangente al círculo es perpendicular al radio trazado en el punto de contacto.
2. Si la línea pasa por el extremo del radio del círculo y es perpendicular a este radio, entonces es tangente al círculo.
Consecuencia
Los segmentos de las tangentes trazadas desde un punto a la circunferencia son iguales.
Prueba
Dibuja dos tangentes \(KA\) y \(KB\) a la circunferencia desde el punto \(K\):
Entonces \(OA\perp KA, OB\perp KB\) como radios. triángulos rectángulos\(\triangle KAO\) y \(\triangle KBO\) son iguales en cateto e hipotenusa, por lo tanto \(KA=KB\) .
Consecuencia
El centro del círculo \(O\) se encuentra en la bisectriz del ángulo \(AKB\) formado por dos tangentes trazadas desde el mismo punto \(K\) .
\[(\Large(\text(Teoremas relacionados con los ángulos)))\]
El teorema del ángulo entre las secantes
El ángulo entre dos secantes trazadas desde el mismo punto es igual a la mitad de la diferencia de las medidas en grados de los arcos mayor y menor cortados por ellas.
Prueba
Sea \(M\) un punto desde el cual se dibujan dos secantes como se muestra en la figura:
Demostremos que \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) es la esquina exterior del triángulo \(MAD\), entonces \(\ángulo DAB = \ángulo DMB + \ángulo MDA\), donde \(\ángulo DMB = \ángulo DAB - \ángulo MDA\), pero los ángulos \(\angle DAB\) y \(\angle MDA\) están inscritos, entonces \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), que debía probarse.
Teorema del ángulo entre cuerdas que se cortan
El ángulo entre dos cuerdas que se cortan es igual a la mitad de la suma de las medidas en grados de los arcos que cortan: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Prueba
\(\angle BMA = \angle CMD\) como vertical.
Del triángulo \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Pero \(\ángulo AMD = 180^\circ - \ángulo CMD\), de donde concluimos que \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sonrisa\sobre(CD)).\]
Teorema del ángulo entre una cuerda y una tangente
El ángulo entre la tangente y la cuerda que pasa por el punto tangente es igual a la mitad de la medida en grados del arco restada por la cuerda.
Prueba
Sea la línea \(a\) la circunferencia en el punto \(A\) , \(AB\) la cuerda de esta circunferencia, \(O\) su centro. Deja que la recta que contiene \(OB\) se interseque con \(a\) en el punto \(M\) . Probemos que \(\ángulo BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Denote \(\angle OAB = \alpha\) . Como \(OA\) y \(OB\) son radios, entonces \(OA = OB\) y \(\ángulo OBA = \ángulo OAB = \alpha\). Por lo tanto, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Dado que \(OA\) es el radio dibujado al punto tangente, entonces \(OA\perp a\) , es decir, \(\angle OAM = 90^\circ\) , por lo tanto, \(\ángulo BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teorema de los arcos contraídos por cuerdas iguales
Cuerdas iguales subtienden arcos iguales, semicírculos más pequeños.
Y viceversa: arcos iguales se contraen por cuerdas iguales.
Prueba
1) Sea \(AB=CD\) . Probemos que los semicírculos más pequeños del arco .
En tres lados, por lo tanto \(\angle AOB=\angle COD\) . Pero desde \(\angle AOB, \angle COD\) - ángulos centrales basados en arcos \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) respectivamente, entonces \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Si \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), entonces \(\triángulo AOB=\triángulo COD\) a lo largo de dos lados \(AO=BO=CO=DO\) y el ángulo entre ellos \(\angle AOB=\angle COD\) . Por lo tanto, \(AB=CD\) .
Teorema
Si un radio biseca una cuerda, entonces es perpendicular a ella.
Lo contrario también es cierto: si el radio es perpendicular a la cuerda, entonces el punto de intersección lo biseca.
Prueba
1) Sea \(AN=NB\) . Probemos que \(OQ\perp AB\) .
Considere \(\triangle AOB\) : es isósceles, porque \(OA=OB\) – radios de círculos. Porque \(ON\) es la mediana dibujada en la base, entonces también es la altura, por lo tanto, \(ON\perp AB\) .
2) Sea \(OQ\perp AB\) . Probemos que \(AN=NB\) .
De manera similar, \(\triangle AOB\) es isósceles, \(ON\) es la altura, entonces \(ON\) es la mediana. Por lo tanto, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Teoremas relacionados con las longitudes de los segmentos)))\]
Teorema del producto de segmentos de cuerdas
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda.
Prueba
Sean las cuerdas \(AB\) y \(CD\) en el punto \(E\) .
Considere los triángulos \(ADE\) y \(CBE\) . En estos triángulos, los ángulos \(1\) y \(2\) son iguales, ya que están inscritos y se apoyan en el mismo arco \(BD\), y los ángulos \(3\) y \(4\) son iguales a la vertical. Los triángulos \(ADE\) y \(CBE\) son semejantes (según el primer criterio de semejanza de triángulos).
Entonces \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), de donde \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teorema de la tangente y la secante
El cuadrado de un segmento tangente es igual al producto de la secante y su parte exterior.
Prueba
Deje que la tangente pase por el punto \(M\) y toque el círculo en el punto \(A\) . Deja que la secante pase por el punto \(M\) y corte a la circunferencia en los puntos \(B\) y \(C\) de manera que \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Considere los triángulos \(MBA\) y \(MCA\) : \(\angle M\) es general, \(\ángulo BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). De acuerdo con el teorema del ángulo entre una tangente y una secante, \(\ángulo BAM = 0.5\cdot\buildrel\sonrisa\sobre(AB) = \ángulo BCA\). Así, los triángulos \(MBA\) y \(MCA\) son semejantes en dos ángulos.
De la semejanza de los triángulos \(MBA\) y \(MCA\) tenemos: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), que es equivalente a \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Consecuencia
El producto de la secante extraída del punto \(O\) y su parte exterior no depende de la elección de la secante extraída del punto \(O\) .
De vuelta atras
¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Objetivo: aumentar la motivación por el aprendizaje; desarrollar habilidades computacionales, ingenio, la capacidad de trabajar en equipo.
Progreso de la lección
Actualización de conocimientos. Hoy seguiremos hablando del círculo. Déjame recordarte la definición de un círculo: ¿qué es un círculo?
Círculo es una recta formada por todos los puntos del plano que están a una distancia dada de un punto del plano, llamado centro de la circunferencia.
La diapositiva muestra un círculo, su centro está marcado: el punto O, se dibujan dos segmentos: OA y CB. El segmento OA conecta el centro del círculo con un punto en el círculo. Se llama RADIO (en latín radio - "habló en una rueda"). El segmento CB conecta dos puntos del círculo y pasa por su centro. Este es el diámetro del círculo (traducido del griego - "diámetro").
También necesitamos la definición de la cuerda de un círculo: este es un segmento que conecta dos puntos del círculo (en la figura, la cuerda DE).
Averigüemos la pregunta. sobre la relación entre una línea y un círculo.
La siguiente pregunta y será la principal: averiguar las propiedades que tienen las cuerdas secantes, las secantes y las tangentes que se cortan.
Demostrará estas propiedades en las lecciones de matemáticas, y nuestra tarea es aprender cómo aplicar estas propiedades al resolver problemas, ya que se usan ampliamente en los exámenes tanto en forma de Examen de estado unificado como en forma de GIA.
Tarea para equipos.
- Dibuja y escribe la propiedad de las cuerdas KM y NF que se cortan en el punto P.
- Dibuja y escribe la propiedad de la tangente KM y la secante KF.
- Dibuja y escribe la propiedad de la secante KM y MF.
Encuentra x usando los datos de la figura. Diapositiva 5-6
Quien es más rápido, más correcto. Con posterior discusión y verificación de la solución de todos los problemas. Los respondedores ganan puntos de recompensa para su equipo.
Bueno, ahora pasemos a problemas más serios. Se ofrecen tres bloques a su atención: cuerdas que se cortan, tangente y secante, dos secantes. Analicemos en detalle la solución de un problema de cada bloque.
(Se analiza resolución con acta de detalle No. 4, No. 7, No. 12)
2. Taller de resolución de problemas
a) Cuerdas que se cortan
1. E es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AE=4, AB=10, CE:ED=1:6. encontrar disco compacto.
Decisión:
2. E es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Encuentre AE y BE.
Decisión:
3. E es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Encuentre CE.
Decisión:
4. E es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. encontrar disco compacto.
Decisión:
b) Tangente y secante
5. Desde un punto, se dibujan una tangente y una secante al círculo. La tangente es 6, la secante es 18. Determina el segmento interior de la secante.
Decisión:
6. Desde un punto, se dibujan una tangente y una secante al círculo. Encuentre la tangente si se sabe que es menor que el segmento interno de la secante por 4 y mayor que el segmento externo por 4.
Decisión:
7. Desde un punto, se dibujan una tangente y una secante al círculo. Encuentre la secante si se sabe que su segmento interior está relacionado con el exterior como 3:1 y la longitud de la tangente es 12.
Decisión:
8. Desde un punto, se dibujan una tangente y una secante al círculo. Encuentra el segmento exterior de la secante, si se sabe que su segmento interior es 12 y la longitud de la tangente es 8.
Decisión:
9. La tangente y la secante, que emanan de un punto, son respectivamente 12 y 24. Determina el radio del círculo si la secante está a 12 del centro.
Decisión:
c) Dos secantes
10. De un punto a la circunferencia se trazan dos secantes cuyos segmentos interiores son respectivamente iguales a 8 y 16. El segmento exterior de la segunda secante es 1 menos que el segmento exterior de la primera. Encuentra la longitud de cada secante.
Decisión:
11. Se dibujan dos secantes desde un punto hasta el círculo. El segmento exterior de la primera secante está relacionado con su segmento interior como 1:3. El segmento exterior de la segunda secante es 1 menos que el segmento exterior de la primera y está relacionado con su segmento interior como 1:8. Encuentra la longitud de cada secante.
Decisión:
12. Por el punto A, que está fuera del círculo a una distancia de 7 de su centro, se traza una línea recta que corta al círculo en los puntos B y C. Halla la longitud del radio del círculo si AB = 3, BC = 5.
Decisión:
13. Desde el punto A, se dibujan al círculo una secante de 12 cm de largo y una tangente, componente del segmento interior de la secante. Encuentra la longitud de la tangente.
Decisión:
- 10,5; 17,5
- 12;18
3. Consolidación del conocimiento
Creo que tienes los conocimientos suficientes para hacer un pequeño viaje por los laberintos de tu intelecto visitando las siguientes estaciones:
- ¡Imagina!
- ¡Decidir!
- ¡Respóndeme!
Puede permanecer en la estación por no más de 6 minutos. Por cada solución correcta del problema, el equipo recibe puntos de incentivo.
Los equipos reciben hojas de ruta:
hoja de ruta
| Estación | Números de tarea | Marca de decisión |
| ¡Decidir! | №1, №3 | |
| ¡Imagina! | №5, №8 | |
| ¡Respóndeme! | №10, №11 |
me gustaría traer resultados de nuestra lección:
Además de nuevos conocimientos, espero que se hayan conocido mejor, adquirido experiencia trabajando en equipo. ¿Crees que el conocimiento adquirido encuentra aplicación en la vida en alguna parte?
El poeta G. Longfellow también fue matemático. Quizás por eso las vívidas imágenes que adornan los conceptos matemáticos que utilizó en su novela “Kavang” permiten plasmar ciertos teoremas y sus aplicaciones para toda la vida. Leemos el siguiente problema en la novela:
“El lirio, elevándose un palmo sobre la superficie del agua, bajo una ráfaga de viento fresco tocó la superficie del lago a dos codos de su lugar anterior; sobre esta base, se requirió determinar la profundidad del lago ”(1 palmo es igual a 10 pulgadas, 2 codos son 21 pulgadas).
Y este problema se resuelve sobre la base de la propiedad de las cuerdas que se cortan. Mire el dibujo y quedará claro cuál es la profundidad del lago.
Decisión:
Institución Educativa General Autónoma Municipal
escuela secundaria No. 45
Desarrollo de una lección sobre un tema.
"Teorema de los segmentos de cuerdas que se cortan",
geometría, grado 8.
primera categoria
Escuela secundaria MAOU №45, Kaliningrado
Borisova Alla Nikolaevna
Kaliningrado
Curso 2016 – 2017
Institución educativa - institución educativa autónoma municipal escuela secundaria No. 45 de la ciudad de Kaliningrado
Cosa - matemáticas (geometría)
Clase – 8
Asunto – "Teorema de los segmentos de cuerdas que se cortan"
Apoyo educativo y metodológico:
Geometría, 7 - 9: libro de texto para instituciones educativas / L. S. Atanasyan et al., - 17a ed., - M .: Educación, 2015
Libro de trabajo "Geometría, Grado 8", autores L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, Yu.A. Glazkov, I. I. Yudina / libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / - M. Educación, 2016
Datos sobre programas en los que se realiza el componente multimedia de la obra - oficina de microsoft power point 2010
Objetivo: familiarizarse con el teorema de los segmentos de cuerdas que se cortan y desarrollar habilidades en su aplicación para resolver problemas.
Objetivos de la lección:
Educativo:
sistematizar los conocimientos teóricos sobre el tema: "Ángulos centrales e inscritos" y mejorar las habilidades para resolver problemas sobre este tema;
formular y probar el teorema sobre segmentos de cuerdas que se cortan;
aplicar el teorema al resolver problemas geométricos;
Desarrollando:
desarrollo del interés cognitivo en el tema.
formación de competencias clave y temáticas.
desarrollo de habilidades creativas.
desarrollar las habilidades de los estudiantes para el trabajo independiente y el trabajo en parejas.
Educativo:
educación de la actividad cognitiva, cultura de la comunicación, responsabilidad, desarrollo autónomo de la memoria visual;
educar a los estudiantes en la independencia, la curiosidad, una actitud consciente hacia el estudio de las matemáticas;
justificación de la elección de métodos, medios y formas de formación;
optimizar el aprendizaje a través de una combinación y proporción razonables de métodos, medios y formas encaminados a obtener un alto resultado durante la lección.
Equipo y materiales para la lección. : proyector, pantalla, presentación para acompañar la lección.
Tipo de lección: combinada.
Estructura de la lección:
1) Se informa a los estudiantes sobre el tema de la lección y los objetivos, se enfatiza la relevancia de este tema.(diapositiva número 1).2) Se anuncia el plan de lección.
1. Verificación tarea.
2. Repetición.
3. Descubrimiento de nuevos conocimientos.
4. Fijación.
II . Comprobación de la tarea.
1) tres estudiantes se prueban a sí mismos en la pizarrateorema del ángulo inscrito.
Primer estudiante - caso 1;
Segundo estudiante - caso 2;
El tercer estudiante es el caso 3.
2) El resto trabaja en este momento oralmente para repetir el material tratado.
1. Estudio teórico (frontal)(diapositiva número 2) .
Termina la oración:
Un ángulo se llama central si...
Un ángulo se dice inscrito si...
El ángulo central se mide...
El ángulo inscrito se mide...
Los ángulos inscritos son iguales si...
Un ángulo inscrito basado en semicírculo...
2. Resolviendo problemas en dibujos terminados(diapositiva número 3) .
El profesor en este momento revisa individualmente la solución de la tarea para algunos estudiantes.
Toda la clase escucha la demostración de los teoremas después de verificar la corrección de las soluciones a los problemas en los dibujos terminados.
II I. Introducción de material nuevo.
1) Trabajo en parejas.Resolver el problema 1 para preparar a los estudiantes para la percepción de material nuevo.(diapositiva número 4).
2) Demostramos el teorema sobre segmentos de cuerdas que se cortan en forma de problema(diapositiva número 5).
Temas para la discusión(diapositiva número 6) :
¿Qué puedes decir sobre los ángulos CAB y CDB?
Acerca de las esquinas AEC y DEBUTANTE ?
¿Qué son los triángulos ACE y DBE?
¿Cuál es la razón de sus lados, que son segmentos de las cuerdas tangentes?
¿Qué igualdad se puede escribir a partir de la igualdad de dos razones usando la propiedad básica de la proporción?
Trate de formular el enunciado que probó. En la pizarra y en cuadernos, anote la formulación y resumen de la demostración del teorema sobre segmentos de cuerdas que se cortan. Una persona es llamada a la junta(diapositiva número 7).
yo V. Educación física.
Un estudiante se acerca a la pizarra y pregunta ejercicios simples para cuello, brazos y espalda.
V . Consolidación del material estudiado.
1) Fijación primaria.
1 estudiantecon comentardecide№ 667 En el escritorio
Decisión.
1) AVA 1 - rectangular, ya que el ángulo inscritoPERO 1 Virginia descansa sobre un semicírculo.
2) 5 = 3 como inscrito y basado en un arcoAB 1 .
3) 1 = 90° -5, 4 = 90°–3 pero3 = 5, entonces1= 4.
4) PERO 1 cama y desayuno 1 - isósceles, entoncesBC = segundo 1 Con .
5) Por el teorema del producto de segmentos de cuerdas que se cortan
CA 1 C \u003d BC B 1 CON.
6) (cm);
Responder:
2) Solución de bricolaje Tareas.
1. 1er grupo de estudiantes (estudiantes "débiles"). Decide por tu cuentaNo. 93, 94 ("Libro de trabajo", autor L.S. Atanasyan, 2015), el maestro, si es necesario, asesora a los estudiantes, analiza los resultados de las tareas de los estudiantes
2. 2do grupo de estudiantes (otros estudiantes). Trabajar en una tarea no estándar. Trabajan de forma independiente (si es necesario, utilizan la ayuda de un maestro o un compañero de clase). Un estudiante trabaja en una tabla plegable. Después de completar el control de trabajo.
Tarea
.
acordesAB
yCD
se cruzan en un puntoS
, en queAS:SB = 2:3, DS = 12
cm,SC=5cm
, encontrarAB
.
Decisión
.
Dado que la proporciónAS:SB = 2:3
, luego deja que la longitudAS = 2x, SB = 3x
Según la propiedad de los acordesAS ∙ SB = CS ∙ SD
, entonces
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x
2
= 60
X
2
= 10
x = √10.
Donde
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Responder
:
5√10
VI . Resumen de la lección, reflejo de las actividades.
Resumiendo la lección, movilizando a los estudiantes para la autoevaluación de sus actividades;
Entonces, ¿qué aprendiste en clase hoy?
¿Qué aprendiste en clase hoy?
Evalúe su actividad para la lección en un sistema de 5 puntos.
Calificando una lección.
viii . Tarea
p.71 (aprender teoría),
№ 659, 661, 666 (b, c).
Primero comprendamos la diferencia entre un círculo y un círculo. Para ver esta diferencia, basta considerar cuáles son ambas figuras. Este es un número infinito de puntos en el plano, ubicados a la misma distancia de un solo punto central. Pero si el círculo consta de espacio interior, entonces no pertenece al círculo. Resulta que un círculo es tanto un círculo que lo limita (o-circle (g)ness) como un número incontable de puntos que están dentro del círculo.
Para cualquier punto L que se encuentre en el círculo, se aplica la igualdad OL=R. (La longitud del segmento OL es igual al radio del círculo).
Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo es acorde.
Una cuerda que pasa directamente por el centro de una circunferencia es diámetro este círculo (D) . El diámetro se puede calcular con la fórmula: D=2R
Circunferencia calculado por la fórmula: C=2\pi R
area de un circulo: S=\piR^(2)
arco de círculo se llama la parte de él, que está situada entre dos de sus puntas. Estos dos puntos definen dos arcos de un círculo. El CD de acordes subtiende dos arcos: CMD y CLD. Las mismas cuerdas subtienden los mismos arcos.
esquina central es el ángulo entre dos radios.
longitud de arco se puede encontrar usando la fórmula:
- Usando grados: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Usando una medida en radianes: CD = \alpha R
El diámetro que es perpendicular a la cuerda biseca la cuerda y los arcos que abarca.
Si las cuerdas AB y CD del círculo se cortan en el punto N, entonces los productos de los segmentos de las cuerdas separados por el punto N son iguales entre sí.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
tangente a la circunferencia
tangente a un circulo Es costumbre llamar a una línea recta que tiene un punto común con un círculo.
Si una recta tiene dos puntos en común, se llama secante.
Si dibuja un radio en el punto de contacto, será perpendicular a la tangente al círculo.
Dibujemos dos tangentes desde este punto a nuestro círculo. Resulta que los segmentos de las tangentes serán iguales entre sí, y el centro del círculo estará ubicado en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto.
CA = CB
Ahora dibujamos una tangente y una secante a la circunferencia desde nuestro punto. Obtenemos que el cuadrado de la longitud del segmento tangente será igual al producto de todo el segmento secante por su parte exterior.
AC^(2) = CD \cdot BC
Podemos concluir: el producto de un segmento entero de la primera secante por su parte exterior es igual al producto de un segmento entero de la segunda secante por su parte exterior.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Ángulos en un círculo
Las medidas en grados del ángulo central y del arco sobre el que descansa son iguales.
\angle DQO = \cup CD = \alpha ^(\circ)
ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas.
Puedes calcularlo conociendo el tamaño del arco, ya que es igual a la mitad de este arco.
\ángulo AOB = 2 \ángulo ADB
Basado en diámetro, ángulo inscrito, recto.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Los ángulos inscritos que se apoyan en un mismo arco son idénticos.
Los ángulos inscritos basados en la misma cuerda son idénticos o su suma es igual a 180^ (\circ) .
\ángulo ADB + \ángulo AKB = 180^ (\circ)
\ángulo ADB = \ángulo AEB = \ángulo AFB
En el mismo círculo están los vértices de triángulos con ángulos idénticos y una base dada.
Un ángulo con un vértice dentro del círculo y ubicado entre dos cuerdas es idéntico a la mitad de la suma de las magnitudes angulares de los arcos del círculo que están dentro de los ángulos dados y verticales.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un ángulo con un vértice fuera del círculo y ubicado entre dos secantes es idéntico a la mitad de la diferencia en las magnitudes angulares de los arcos de un círculo que están dentro del ángulo.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
círculo inscrito
círculo inscrito es una circunferencia tangente a los lados del polígono.
En el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos del polígono, se ubica su centro.
No se puede inscribir un círculo en todos los polígonos.
El área de un polígono con un círculo inscrito se encuentra mediante la fórmula:
S=pr,
p es el semiperímetro del polígono,
r es el radio de la circunferencia inscrita.
De ello se deduce que el radio de la circunferencia inscrita es:
r = \frac(S)(p)
Las sumas de las longitudes de los lados opuestos serán idénticas si el círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo. Y viceversa: un círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos en él son idénticas.
AB+DC=AD+BC
Es posible inscribir un círculo en cualquiera de los triángulos. Solo uno solo. En el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de la figura, estará el centro de esta circunferencia inscrita.
El radio de la circunferencia inscrita se calcula con la fórmula:
r = \frac(S)(p) ,
donde p = \frac(a + b + c)(2)
círculo circunscrito
Si un círculo pasa por todos los vértices de un polígono, entonces dicho círculo se llama circunscrita a un polígono.
El centro de la circunferencia circunscrita estará en el punto de intersección de las mediatrices de los lados de esta figura.
El radio se puede encontrar calculándolo como el radio de un círculo que está circunscrito a un triángulo definido por cualquiera de los 3 vértices del polígono.
Existe la siguiente condición: un círculo se puede circunscribir alrededor de un cuadrilátero solo si la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180^( \circ) .
\ángulo A + \ángulo C = \ángulo B + \ángulo D = 180^ (\circ)
Cerca de cualquier triángulo es posible describir un círculo, y uno y solo uno. El centro de dicho círculo estará ubicado en el punto donde se cruzan las mediatrices de los lados del triángulo.
El radio del círculo circunscrito se puede calcular mediante las fórmulas:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,
S es el área del triángulo.
el teorema de ptolomeo
Finalmente, considere el teorema de Ptolomeo.
El teorema de Ptolomeo establece que el producto de las diagonales es idéntico a la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero inscrito.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
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