قضیه وترهای متقاطع. من

پیش نمایش:

درس مرتبط:

«قضیه حاصل ضرب قطعات وترهای متقاطع»

موضوع: هندسه

درجه 8

معلم ب: هرات لودمیلا واسیلیونا

مدرسه : MOBU "مدرسه متوسطه Druzhbinskaya" منطقه Sol-Iletsk، منطقه اورنبورگ

نوع درس: درس "کشف" دانش جدید.

اشکال کار: فردی، پیشانی، گروهی

روش های تدریس:کلامی، تصویری، عملی، مشکل دار.

تجهیزات: کلاس کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای،

جزوه (کارت)، ارائه.

اهداف درس:

• آموزشی- قضیه حاصل ضرب وترهای متقاطع را مطالعه کنید و کاربرد آن را در حل مسائل نشان دهید.

بهبود مهارت حل مسائل در کاربرد قضیه زاویه محاطی و پیامدهای آن.

• در حال توسعه - توسعه فعالیت خلاق و ذهنی دانش آموزان در کلاس درس. توسعه ویژگی های فکری شخصیت دانش آموزان، مانند استقلال، انعطاف پذیری، توانایی اقدامات ارزیابی، تعمیم. کمک به شکل گیری مهارت های جمعی و کار مستقل; توانایی بیان روشن و واضح افکار خود را توسعه دهند.
• آموزشی - با استفاده از فناوری اطلاعات (با استفاده از رایانه) علاقه به موضوع را در دانش آموزان ایجاد کند. برای ایجاد توانایی انجام دقیق و شایسته سوابق ریاضی، تصویری برای مسئله ترسیم کنید.

فعالیت های آموزشی با هدف بهبود اثربخشی، بهره وری کار آموزشی با انتقال دانش آموزان از موقعیت انجام می شودهدف - شی فعالیت های معلم در موقعیتموضوع دکترین ، به رشد پتانسیل هر کودک، افشای امکانات ذاتی در آن کمک می کند.

پرورش (توسعه) سوژه فقط در فعالیت ها امکان پذیر است.که در آن موضوع دخیل است، که در آن اوخودش: الف) اهدافی را تعیین می کند. ب) تلاش ارادی را برای رسیدن به هدف متمرکز می کند. ج) پیشرفت و نتایج کار خود را منعکس می کند. انعکاس قوی ترین ابزار برای خودسازی شخصی است(خودسازی شخصیت).

مشکل رشد ذهنیت دانش آموزنمی توان با اقدامات یکباره به طور کامل آن را حل کرد. این کیفیت توسعه می یابدبه طور مداوم با گنجاندن دانش آموز در آموزش و شناختفعالیت (به طور ایده آل در هر درسی) که او اجرا می کندخودش را به کار می گیرد تلاش خود،آنها به تنهایی، با حداقل کمک خارجی، همه اقدامات در دنباله منطقی خود هستند. این درس به دانش‌آموزان می‌دهد تا در مورد هر 4 مرحله کار به علاوه نتایج، به طور کامل نیازها را برآورده کنندرویکرد فعالیتدر آموزش.

از طریق طرح پیشنهادی درس و استفاده از فناوری رایانه، اهداف توسعه دنبال می شود:

• فرهنگ فکری؛
• فرهنگ اطلاعاتی؛
• فرهنگ های خودسازماندهی؛
• فرهنگ پژوهشی؛

فعالیت های دانش آموزان باید به گونه ای سازماندهی شود که اهداف و انگیزه های درونی دانش آموزان را فراهم کند. نیاز به جستجو مهمترین وظیفه آموزش و پرورش است، برای این کار لازم است موقعیت های موفقیت ایجاد شود، موقعیت های جستجو که باعث ایجاد احساسات مثبت می شود.

طرح درس

1. اثبات قضیه زاویه محاطی (3 مورد). کارت کار،

حل مسائل با توجه به نقشه های آماده.

2. دوتایی کار کنید.

3. بررسی قضیه حاصل ضرب قطعات وترهای متقاطع.

4. حل مسائل برای رفع قضیه.

در طول کلاس ها.

1. به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوع مورد مطالعه.

سه دانش آموز برای اثبات قضایا به تخته فراخوانده می شوند، دو دانش آموز کارت وظیفه دریافت می کنند، بقیه دانش آموزان مسائل را روی نقاشی های آماده حل می کنند. پس از اینکه دانش‌آموزان مسائل مربوط به نقاشی‌های تمام‌شده را حل کردند، اثبات قضایا توسط کل کلاس شنیده می‌شود.

کارت شماره 1..

1. کلمات گم شده را درج کنید: «به یک زاویه محاط گفته می شود که راس آن روی ……………………………………………………….. و اضلاع آن زاویه…………………………………………………..».

2. زوایای محاطی نشان داده شده در شکل را بیابید و یادداشت کنید:

3. اندازه گیری درجه زاویه ABC نشان داده شده در شکل را در صورتی که درجه قوس ABC = 270 باشد، بیابید..

کارت شماره 2.

1. کلمات جاافتاده را وارد کنید: "زاویه نوشته شده با …………. اندازه گیری می شود".

1. داده شده: OA=AB. اندازه گیری درجه کمان AB را پیدا کنید.

حل مسائل با توجه به نقشه های آماده.

عکس. 1. شکل 2 را پیدا کنید. شکل 3. شکل 4. شکل 5.

AOD، ACD یافتن ABC یافتن BCD یافتن BAC یافتن BCD

II. دوتایی کار کنید.

اثبات قضیه در بخش هایی از وترهای متقاطع به شکل یک مسئله انجام می شود:

ثابت کنید که اگر دو وتر AB و CD یک دایره در نقطه E قطع شوند، آنگاه

AE * BE = CE * DE

پیشنهاد می شود که این کار به طور مستقل به صورت جفت حل شود و سپس راه حل آن مورد بحث قرار گیرد. در دفترچه ها و روی تخته، طرح کلی اثبات قضیه را یادداشت کنید.

طرح کلی

الف) ACE TWO (A = D به عنوان زوایای محاطی بر اساس قوس BC.

AEC = DEB به صورت عمودی).

موضوعات مورد بحث:

در مورد زوایای CAB و CDB چه می توانید بگویید؟ در مورد زوایای AEC و DEB؟

مثلث های ACE و DBE چیست؟ نسبت اضلاع آنها که قطعاتی از وترهای مماس هستند چقدر است؟

چه تساوی را می توان از برابری دو نسبت با استفاده از ویژگی اصلی نسبت ها نوشت؟

IV. تلفیق مطالب مورد مطالعه.

حل مسئله: وترهای دایره RT و KM در نقطه E قطع می شوند. اگر ME را پیدا کنید

KE = 4cm، TE = 6cm، PE = 2cm.

راه حل: AE * BE = CE * DE

AE * 4 = 2 * 6

AE = 3 سانتی متر

شماره 666 ب. x*x =16*9

X * x \u003d 144

X = 12

V. بازتاب. (با استفاده از برچسب های سه رنگ)

VI. مشق شب.

ص 71، شماره 666 الف، ج; 667.

\[(\Large(\text(Central and Inscribed Angles)))\]

تعاریف

زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.

زاویه محاطی زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد.

درجه اندازه گیری یک کمان دایره، درجه اندازه گیری زاویه مرکزی است که روی آن قرار دارد.

قضیه

اندازه یک زاویه محاطی نصف اندازه کمانی است که آن را قطع می کند.

اثبات

ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم: اول، اعتبار گزاره را برای حالتی که یکی از اضلاع زاویه محاطی دارای قطر باشد، اثبات می کنیم. بگذارید نقطه \(B\) راس زاویه محاطی \(ABC\) و \(BC\) قطر دایره باشد:

مثلث \(AOB\) متساوی الساقین است، \(AO = OB\) ، \(\زاویه AOC\) بیرونی است، سپس \(\ زاویه AOC = \ زاویه OAB + \ زاویه ABO = 2\ زاویه ABC\)، جایی که \(\زاویه ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

اکنون یک زاویه محاطی دلخواه \(ABC\) را در نظر بگیرید. قطر دایره \(BD\) را از راس زاویه محاطی بکشید. دو مورد ممکن است:

1) قطر زاویه را به دو زاویه برش می دهد \(\زاویه ABD، \زاویه CBD\) (برای هر یک از آنها قضیه همانطور که در بالا ثابت شد صادق است، بنابراین برای زاویه اصلی که مجموع اینها است نیز صادق است. دو و بنابراین برابر است با نصف مجموع کمانی که به آن تکیه می کنند، یعنی برابر با نیمی از کمانی که به آن تکیه می کند). برنج. یکی

2) قطر زاویه را به دو زاویه برش نداد، سپس دو زاویه محاطی دیگر داریم \(\زاویه ABD، \زاویه CBD\) که ضلع آنها حاوی قطر است، بنابراین قضیه برای آنها صادق است، سپس برای زاویه اصلی نیز صادق است (که برابر است با اختلاف این دو زاویه، یعنی برابر است با نصف اختلاف کمان هایی که روی آنها قرار دارند، یعنی برابر است با نصف قوسی که روی آن قرار دارد. استراحت می کند). برنج. 2.

عواقب

1. زوایای محاطی بر اساس همان کمان مساوی هستند.

2. زاویه محاطی بر اساس نیم دایره، زاویه قائمه است.

3. یک زاویه محاطی برابر با نیمی از زاویه مرکزی بر اساس همان کمان است.

\[(\Large(\text(مماس دایره)))\]

تعاریف

سه نوع ترتیب متقابل یک خط و یک دایره وجود دارد:

1) خط \(a\) دایره را در دو نقطه قطع می کند. به چنین خطی سکانت می گویند. در این حالت، فاصله \(d\) از مرکز دایره تا خط مستقیم کمتر از شعاع \(R\) دایره است (شکل 3).

2) خط \(b\) دایره را در یک نقطه قطع می کند. به چنین خط مستقیمی مماس و نقطه مشترک آنها \(B\) را نقطه مماس می گویند. در این مورد \(d=R\) (شکل 4).

قضیه

1. مماس بر دایره عمود بر شعاع رسم شده به نقطه تماس است.

2. اگر خط از انتهای شعاع دایره بگذرد و بر این شعاع عمود باشد، بر دایره مماس است.

نتیجه

پاره های مماس های رسم شده از یک نقطه به دایره با هم برابرند.

اثبات

دو مماس \(KA\) و \(KB\) روی دایره از نقطه \(K\) رسم کنید:

بنابراین \(OA\perp KA, OB\perp KB\) به عنوان شعاع. مثلث های قائم الزاویه\(\مثلث KAO\) و \(\مثلث KBO\) در ساق و هیپوتنوز برابر هستند، بنابراین \(KA=KB\) .

نتیجه

مرکز دایره \(O\) روی نیمساز زاویه \(AKB\) قرار دارد که توسط دو مماس ترسیم شده از یک نقطه \(K\) تشکیل شده است.

\[(\Large(\text(قضیه های مربوط به زوایا)))\]

قضیه زاویه بین دو بخش

زاویه بین دو مقطع کشیده شده از یک نقطه برابر است با نصف اختلاف درجه های کمان بزرگتر و کوچکتر بریده شده توسط آنها.

اثبات

فرض کنید \(M\) نقطه ای باشد که در شکل نشان داده شده است که از آن دو مقطع رسم می شود:

بگذارید این را نشان دهیم \(\ زاویه DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ زاویه DAB\) گوشه بیرونی مثلث \(MAD\) است، سپس \(\ زاویه DAB = \ زاویه DMB + \ زاویه MDA\)، جایی که \(\ Angle DMB = \ Angle DAB - \ Angle MDA\)، اما زوایا \(\زاویه DAB\) و \(\زاویه MDA\) محاط می شوند، سپس \(\ زاویه DMB = \ زاویه DAB - \ زاویه MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)، که قرار بود ثابت شود.

قضیه زاویه بین وترهای متقاطع

زاویه بین دو وتر متقاطع برابر است با نصف مجموع درجه های کمانی که بریده اند: \[\زاویه CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

اثبات

\(\ زاویه BMA = \ زاویه CMD\) به صورت عمودی.

از مثلث \(AMD\) : \(\ زاویه AMD = 180^\circ - \ زاویه BDA - \ زاویه CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ولی \(\ زاویه AMD = 180^\circ - \ زاویه CMD\)، از آنجا نتیجه می گیریم که \[\ زاویه CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ لبخند\روی (سی دی)).\]

قضیه زاویه بین وتر و مماس

زاویه بین مماس و وتر که از نقطه مماس عبور می کند برابر است با نصف درجه اندازه کمان که توسط وتر کم می شود.

اثبات

اجازه دهید خط \(a\) دایره را در نقطه \(A\) لمس کند، \(AB\) وتر این دایره باشد، \(O\) مرکز آن باشد. اجازه دهید خط حاوی \(OB\) \(a\) را در نقطه \(M\) قطع کند. این را ثابت کنیم \(\ زاویه BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) را نشان می‌دهیم. از آنجایی که \(OA\) و \(OB\) شعاع هستند، پس \(OA = OB\) و \(\ زاویه OBA = \ زاویه OAB = \آلفا\). بدین ترتیب، \(\buildrel\smile\over(AB) = \ زاویه AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

از آنجایی که \(OA\) شعاع کشیده شده به نقطه مماس است، پس \(OA\perp a\) یعنی \(\ زاویه OAM = 90^\circ\) است، بنابراین، \(\ زاویه BAM = 90^\circ - \ زاویه OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

قضیه روی کمان هایی که توسط وترهای مساوی منقبض شده اند

آکوردهای مساوی کمانهای مساوی و نیم دایره های کوچکتر را متمایل می کنند.

و بالعکس: کمان های مساوی توسط وترهای مساوی منقبض می شوند.

اثبات

1) اجازه دهید \(AB=CD\) . اجازه دهید ثابت کنیم که نیم دایره های کوچکتر کمان .

در سه طرف، بنابراین \(\ زاویه AOB=\زاویه COD\) . اما از آنجایی که \(\ زاویه AOB، \زاویه COD\) - زوایای مرکزی بر اساس کمان \(\buildrel\smile\over(AB)، \buildrel\smile\over(CD)\)به ترتیب، پس از آن \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) اگر \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)، سپس \(\مثلث AOB=\مثلث COD\)در امتداد دو ضلع \(AO=BO=CO=DO\) و زاویه بین آنها \(\زاویه AOB=\زاویه COD\) . بنابراین، \(AB=CD\) .

قضیه

اگر شعاع یک وتر را نصف کند، بر آن عمود است.

عکس آن نیز صادق است: اگر شعاع عمود بر وتر باشد، نقطه تقاطع آن را نصف می کند.

اثبات

1) اجازه دهید \(AN=NB\) . اجازه دهید ثابت کنیم که \(OQ\perp AB\) .

\(\مثلث AOB\) را در نظر بگیرید: متساوی الساقین است، زیرا \(OA=OB\) - شعاع دایره. زیرا \(ON\) میانه ای است که به پایه کشیده شده است، سپس ارتفاع نیز است، بنابراین \(ON\perp AB\) .

2) اجازه دهید \(OQ\perp AB\) . اجازه دهید ثابت کنیم که \(AN=NB\) .

به طور مشابه، \(\مثلث AOB\) متساوی الساقین است، \(ON\) ارتفاع است، بنابراین \(ON\) میانه است. بنابراین، \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(قضیه های مربوط به طول پاره ها)))\]

قضیه حاصل ضرب قطعات وترها

اگر دو وتر یک دایره همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات یک وتر برابر است با حاصلضرب قطعات وتر دیگر.

اثبات

بگذارید آکوردهای \(AB\) و \(CD\) در نقطه \(E\) همدیگر را قطع کنند.

مثلث های \(ADE\) و \(CBE\) را در نظر بگیرید. در این مثلث‌ها، زوایای \(1\) و \(2\) با هم برابر هستند، زیرا حکاکی شده‌اند و بر یک کمان تکیه دارند \(BD\) و زوایای \(3\) و \(4\) عمودی برابر هستند. مثلث های \(ADE\) و \(CBE\) مشابه هستند (طبق معیار تشابه مثلث اول).

سپس \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)، از آنجا \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

قضیه مماس و قطعی

مربع یک قطعه مماس برابر است با حاصلضرب مقطع و قسمت بیرونی آن.

اثبات

اجازه دهید مماس از نقطه \(M\) عبور کند و دایره را در نقطه \(A\) لمس کنید. بگذارید سکنت از نقطه \(M\) عبور کند و دایره را در نقاط \(B\) و \(C\) قطع کند تا \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) را در نظر بگیرید: \(\زاویه M\) کلی است، \(\ زاویه BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). با توجه به قضیه زاویه بین مماس و سکانت، \(\ زاویه BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ زاویه BCA\). بنابراین، مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) در دو زاویه مشابه هستند.

از شباهت مثلث های \(MBA\) و \(MCA\) داریم: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)، که معادل \(MB\cdot MC = MA^2\) است.

نتیجه

حاصلضرب سکنت رسم شده از نقطه \(O\) و قسمت بیرونی آن به انتخاب سکنت رسم شده از نقطه \(O\) بستگی ندارد.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه دارید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

هدف:افزایش انگیزه برای یادگیری؛ مهارت های محاسباتی، نبوغ، توانایی کار در یک تیم را توسعه دهید.

پیشرفت درس

به روز رسانی دانش امروز ما در مورد دایره صحبت خواهیم کرد. بگذارید تعریف دایره را یادآوری کنم: دایره چیست؟

دایرهخطی است متشکل از تمام نقاط صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه از صفحه قرار دارند که مرکز دایره نامیده می شود.

اسلاید یک دایره را نشان می دهد، مرکز آن مشخص شده است - نقطه O، دو بخش ترسیم شده است: OA و CB. بخش OA مرکز دایره را با یک نقطه روی دایره متصل می کند. RADIUS نامیده می شود (در لاتین radius - "در چرخ صحبت می کرد"). قطعه CB دو نقطه از دایره را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد. این قطر دایره است (از یونانی - "قطر" ترجمه شده است).

ما همچنین به تعریف وتر یک دایره نیاز داریم - این قطعه ای است که دو نقطه دایره را به هم متصل می کند (در شکل - وتر DE).

بیایید سوال را پیدا کنیم در مورد رابطه بین یک خط و یک دایره

سوال بعدی و سوال اصلی خواهد بود: خواص وترهای متقاطع، مقاطع و مماس ها را دریابید.

شما این ویژگی ها را در درس های ریاضی ثابت خواهید کرد و وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه این ویژگی ها را هنگام حل مسائل به کار ببریم، زیرا آنها به طور گسترده ای در امتحانات هم به صورت آزمون دولتی واحد و هم در قالب GIA استفاده می شوند.

وظیفه برای تیم ها

• ویژگی وترهای KM و NF را که در نقطه P متقاطع می شوند، رسم و یادداشت کنید.
• ویژگی مماس KM و سکانس KF را رسم کرده و یادداشت کنید.
• ویژگی سکنت KM و MF را رسم کرده و یادداشت کنید.

x را با استفاده از داده های شکل پیدا کنید. اسلاید 5-6

چه کسی سریعتر است، صحیح تر است. با بحث و بررسی بعدی و بررسی حل همه مشکلات. پاسخ دهندگان برای تیم خود امتیاز پاداش می گیرند.

خوب، حالا بیایید به مشکلات جدی تر برویم. سه بلوک به شما پیشنهاد می شود: آکوردهای متقاطع، مماس و سکنت، دو سکانت. اجازه دهید حل یک مسئله از هر بلوک را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنیم.

(تصمیم با سوابق مشروح شماره 4، شماره 7، شماره 12 در حال تحلیل است)

2. کارگاه حل مسئله

الف) آکوردهای متقاطع

1. E نقطه تلاقی آکوردهای AB و CD است. AE=4، AB=10، CE:ED=1:6. سی دی را پیدا کنید.

تصمیم:

2. E نقطه تلاقی آکوردهای AB و CD است. AB=17، CD=18، ED=2CE. AE و BE را پیدا کنید.

تصمیم:

3. E نقطه تلاقی آکوردهای AB و CD است. AB=10، CD=11، BE=CE+1. CE را پیدا کنید.

تصمیم:

4. E نقطه تلاقی آکوردهای AB و CD است. ED=2AE، CE=DE-1، BE=10. سی دی را پیدا کنید.

تصمیم:

ب) مماس و مقطع

5. از یک نقطه یک مماس و یک مقطع به دایره کشیده می شود. مماس 6 است، سکنت 18 است. بخش داخلی سکنت را تعیین کنید.

تصمیم:

6. از یک نقطه یک مماس و یک مقطع به دایره کشیده می شود. مماس را در صورتی پیدا کنید که مشخص شود از پاره داخلی سکنت 4 کمتر و از پاره خارجی 4 بزرگتر است.

تصمیم:

7. از یک نقطه یک مماس و یک مقطع به دایره کشیده می شود. سکنت را در صورتی پیدا کنید که مشخص شود که پاره داخلی آن به قسمت بیرونی 3:1 مربوط است و طول مماس 12 است.

تصمیم:

8. از یک نقطه یک مماس و یک مقطع به دایره کشیده می شود. پاره خارجی سکنت را بیابید، در صورتی که مشخص شود که پاره داخلی آن 12 و طول مماس آن 8 است.

تصمیم:

9. مماس و سکنت که از یک نقطه سرچشمه می‌گیرند، به ترتیب 12 و 24 هستند. اگر فاصله از مرکز 12 فاصله داشته باشد، شعاع دایره را تعیین کنید.

تصمیم:

ج) دو بخش

10. دو سکانس از یک نقطه به دایره کشیده می شود که قسمت های داخلی آن به ترتیب برابر با 8 و 16 است. پاره خارجی قطعه دوم 1 کمتر از قسمت بیرونی اولی است. طول هر سکانس را پیدا کنید.

تصمیم:

11. دو مقطع از یک نقطه به دایره کشیده می شود. قسمت بیرونی قطعه اول به قسمت داخلی آن به صورت 1:3 مرتبط است. قسمت بیرونی قطعه دوم 1 کمتر از قطعه خارجی قطعه اول است و به قسمت داخلی آن به صورت 1:8 مرتبط است. طول هر سکانس را پیدا کنید.

تصمیم:

12. از طریق نقطه A که خارج از دایره به فاصله 7 از مرکز آن قرار دارد، خط مستقیمی رسم می شود که دایره را در نقاط B و C قطع می کند. طول شعاع دایره را در صورت AB = 3، BC بیابید. = 5.

تصمیم:

13. از نقطه A، یک سکانس به طول 12 سانتی متر و یک مماس، جزء قسمت داخلی برش، به دایره کشیده می شود. طول مماس را پیدا کنید.

تصمیم:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. تحکیم دانش

من معتقدم دانش کافی برای رفتن به سفری کوتاه در هزارتوهای عقل خود را با مراجعه به ایستگاه های زیر دارید:

• تصور کنید!
• تصمیم بگیرید!
• جواب بدید!

شما نمی توانید بیش از 6 دقیقه در ایستگاه بمانید. برای هر راه حل صحیح مشکل، تیم امتیاز تشویقی دریافت می کند.

به تیم ها برگه مسیر داده می شود:

برگه مسیر

ایستگاه	شماره وظایف	علامت تصمیم
تصمیم بگیرید!	№1, №3
تصور کنید!	№5, №8
جواب بدید!	№10, №11

دوست دارم بیارم نتایج درس ما:

علاوه بر دانش جدید، امیدوارم با یکدیگر بیشتر آشنا شده باشید، در کار تیمی نیز تجربه کسب کرده باشید. آیا فکر می کنید دانش به دست آمده در جایی در زندگی کاربرد پیدا می کند؟

شاعر G. Longfellow نیز یک ریاضیدان بود. شاید به همین دلیل است که تصاویر واضحی که مفاهیم ریاضی را که او در رمان «کاوانگ» به کار برده است، تزیین می کند، امکان ثبت برخی قضایا و کاربردهای آنها را برای یک عمر فراهم می کند. مشکل زیر را در رمان می خوانیم:

زنبق که یک دهانه از سطح آب بالا می‌آمد، در زیر وزش باد تازه، سطح دریاچه را دو ذراع از محل سابقش لمس کرد. بر این اساس، لازم بود عمق دریاچه تعیین شود "(1 دهانه برابر است با 10 اینچ، 2 ذراع 21 اینچ است).

و این مشکل بر اساس خاصیت وترهای متقاطع حل می شود. به نقاشی نگاه کنید، خواهید دید که عمق دریاچه چقدر است.

تصمیم:

مؤسسه آموزشی عمومی خودمختار شهرداری

دبیرستان شماره 45

توسعه یک درس در مورد یک موضوع

"قضیه قطعات وترهای متقاطع"

هندسه، پایه هشتم.

دسته اول

مدرسه متوسطه MAOU №45، کالینینگراد

بوریسوا آلا نیکولاونا

کالینینگراد

سال تحصیلی 2016 – 2017

موسسه تحصیلی - موسسه آموزشی خودمختار شهری مدرسه متوسطه شماره 45 شهر کالینینگراد

چیز - ریاضیات (هندسه)

کلاس – 8

موضوع – "قضیه بخشهای وترهای متقاطع"

پشتیبانی آموزشی و روش شناختی:

هندسه، 7 - 9: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / L. S. Atanasyan و همکاران، - ویرایش 17، - M.: آموزش، 2015

کتاب کار "هندسه، کلاس 8"، نویسندگان L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، Yu.A. گلازکوف، I.I. یودینا / کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی / - M. آموزش و پرورش، 2016

داده های مربوط به برنامه هایی که در آنها جزء چند رسانه ای کار انجام می شود - مایکروسافت آفیسپاور پوینت 2010

هدف: با قضیه بخش هایی از وترهای متقاطع آشنا شده و مهارت هایی را در کاربرد آن برای حل مسائل ایجاد می کند.

اهداف درس:

آموزشی:

برای نظام مند کردن دانش نظری در مورد موضوع: "زوایای مرکزی و محاطی" و بهبود مهارت های حل مسائل در مورد این موضوع.

قضیة مربوط به بخشهایی از وترهای متقاطع را فرموله و اثبات کنید.

این قضیه را هنگام حل مسائل هندسی اعمال کنید.

در حال توسعه:

توسعه علاقه شناختی به موضوع

تشکیل شایستگی های کلیدی و موضوعی

توسعه توانایی های خلاق.

برای توسعه مهارت های کار مستقل و کار دو نفره در دانش آموزان.

آموزشی:

آموزش فعالیت های شناختی، فرهنگ ارتباط، مسئولیت، توسعه مستقل حافظه بصری.

برای آموزش دانش آموزان در استقلال، کنجکاوی، نگرش آگاهانه به مطالعه ریاضیات.

اثبات انتخاب روش ها، ابزارها و اشکال آموزش؛

بهینه سازی یادگیری از طریق ترکیب معقول و نسبت معقول از روش ها، ابزارها و اشکال با هدف به دست آوردن نتیجه بالا در طول درس.

تجهیزات و مواد برای درس : پروژکتور، صفحه نمایش، ارائه همراه با درس.

نوع درس: ترکیبی

ساختار درس:

1) دانش آموزان از موضوع درس و اهداف مطلع می شوند، مرتبط بودن این موضوع مورد تاکید قرار می گیرد.(اسلاید شماره 1).

2) طرح درس اعلام می شود.

1. تأیید مشق شب.

2. تکرار.

3. کشف دانش جدید.

4. تعمیر.

II . بررسی تکالیف

1) سه دانش آموز خود را روی تخته سیاه ثابت می کنندقضیه زاویه محاطی

شاگرد اول - مورد 1;
دانش آموز دوم - مورد 2;
شاگرد سوم مورد 3 است.

2) بقیه در این زمان به صورت شفاهی کار می کنند تا مطالب پوشش داده شده را تکرار کنند.

1. بررسی نظری (فرونتال)(اسلاید شماره 2) .

جمله را تمام کن:

یک زاویه مرکزی نامیده می شود اگر ...

زاویه ای را محاط می گویند اگر ...

زاویه مرکزی اندازه گیری می شود ...

زاویه محاطی اندازه گیری می شود ...

زوایای محاطی مساوی هستند اگر ...

یک زاویه محاط بر اساس نیم دایره ...

2. حل مسائل در نقشه های تمام شده(اسلاید شماره 3) .

معلم در این زمان به صورت جداگانه راه حل تکالیف را برای برخی از دانش آموزان بررسی می کند.

اثبات قضایا پس از بررسی درستی راه حل های مسائل روی نقشه های تمام شده توسط کل کلاس شنیده می شود.

II I. معرفی مطالب جدید.

1) دوتایی کار کنید.مسئله 1 را حل کنید تا دانش آموزان را برای درک مطالب جدید آماده کنید(اسلاید شماره 4).

2) قضیه مربوط به بخشهایی از وترهای متقاطع را در قالب یک مسئله اثبات می کنیم(اسلاید شماره 5).

مسائل مورد بحث(اسلاید شماره 6) :

در مورد زوایای CAB و CDB چه می توانید بگویید؟

در مورد گوشه ها AEC و DEB ?

مثلث های ACE و DBE چیست؟

نسبت اضلاع آنها که قطعاتی از وترهای مماس هستند چقدر است؟

چه تساوی را می توان از برابری دو نسبت با استفاده از ویژگی اصلی تناسب نوشت؟

سعی کنید جمله ای را که ثابت کردید فرموله کنید. بر روی تخته و در دفترچه، صورت بندی و خلاصه اثبات قضیه را در قسمت هایی از وترهای متقاطع یادداشت کنید. یک نفر به هیئت فراخوانده می شود(اسلاید شماره 7).

من V. تربیت بدنی.

یکی از دانش آموزان به تخته سیاه می آید و می پرسد تمرینات سادهبرای گردن، بازوها و پشت

V . تلفیق مطالب مورد مطالعه.

1) بست اولیه.

1 دانش آموزبا اظهار نظرتصمیم می گیرد№ 667 روی میز

تصمیم.

1) AVA 1 - مستطیل، از زاویه محاطیولی 1 VA روی یک نیم دایره قرار دارد

2) 5 = 3 به صورت حکاکی شده و بر اساس یک قوسAB 1 .

3) 1 = 90 درجه -5, 4 = 90 درجه -3 اما3 = 5، بنابراین1= 4.

4) ولی 1 BB 1 - پس متساوی الساقینBC = B 1 با .

5) با قضیه حاصل ضرب قطعات وترهای متقاطع

AC A 1 C \u003d قبل از میلاد B 1 با.

6) (سانتی متر)؛

پاسخ:

2) راه حل خودت انجام بدهوظایف

1. گروه اول دانش آموزان (دانش آموزان ضعیف). خودت تصمیم بگیرشماره 93، 94 ("کتاب کار"، نویسنده L.S. Atanasyan، 2015)، معلم، در صورت لزوم، به دانش آموزان توصیه می کند، نتایج تکالیف دانش آموزان را تجزیه و تحلیل می کند.

2. گروه دوم دانش آموزان (دانش آموزان دیگر). روی یک کار غیر استاندارد کار کنید. آنها به طور مستقل کار می کنند (در صورت لزوم از کمک معلم یا همکلاسی خود استفاده می کنند). یک دانش آموز روی یک تخته تاشو کار می کند. پس از اتمام کار بررسی می شود.

وظیفه .
آکوردAB وسی دی در یک نقطه تلاقی می کننداس ، در چه چیزیAS:SB = 2:3، DS = 12 سانتی متر،SC=5cm ، پیدا کردنAB .
تصمیم .

از آنجایی که نسبتAS:SB = 2:3 ، سپس طول را بگذاریدAS = 2x، SB = 3x
با توجه به خاصیت آکوردAS ∙ SB = CS ∙ SD ، سپس
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6 برابر 2 = 60
ایکس 2 = 10
x = √10.

جایی که
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10 = 5√10 پاسخ : 5√10

VI . جمع بندی درس، انعکاس فعالیت ها

جمع بندی درس، بسیج دانش آموزان برای خودارزیابی فعالیت هایشان.

پس امروز در کلاس چه چیزی یاد گرفتید؟

امروز تو کلاس چی یاد گرفتی؟

فعالیت خود را برای درس بر اساس یک سیستم 5 امتیازی ارزیابی کنید.

نمره دادن به یک درس

هشتم . مشق شب

ص 71 (یادگیری نظریه)،

№ 659، 661، 666 (ب، ج).

بیایید ابتدا تفاوت بین دایره و دایره را درک کنیم. برای مشاهده این تفاوت کافی است هر دو رقم را در نظر بگیرید. این تعداد بی نهایت نقطه در صفحه است که در فاصله مساوی از یک نقطه مرکزی قرار دارند. اما اگر دایره متشکل از فضای درون، پس به دایره تعلق ندارد. معلوم می شود که یک دایره هم دایره ای است که آن را محدود می کند (o-circle (g)ness)، و هم تعداد غیرقابل شمارش نقاطی که در داخل دایره قرار دارند.

برای هر نقطه L که روی دایره قرار دارد، تساوی OL=R اعمال می شود. (طول قطعه OL برابر با شعاع دایره است).

پاره خطی که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند وتر.

آکوردی که مستقیماً از مرکز دایره عبور می کند قطراین دایره (D) . قطر را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: D=2R

محیطبا فرمول C=2\pi R محاسبه می شود

مساحت یک دایره: S=\pi R^(2)

قوس دایرهآن قسمت از آن را که بین دو نقطه آن قرار دارد نامیده می شود. این دو نقطه دو کمان دایره را مشخص می کنند. سی دی آکورد دارای دو قوس است: CMD و CLD. همان آکوردها همان قوس ها را فرو می ریزند.

گوشه مرکزیزاویه بین دو شعاع است.

طول کمانرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

1. استفاده از درجه: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. با استفاده از اندازه گیری رادیان: CD = \alpha R

قطری که بر وتر عمود است، وتر و قوس هایی را که در آن قرار می گیرد، نصف می کند.

اگر وترهای AB و CD دایره در نقطه N همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات وترهایی که با نقطه N از هم جدا شده اند با یکدیگر برابر هستند.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

مماس بر دایره

مماس بر دایرهمرسوم است که خط مستقیمی را که یک نقطه مشترک با یک دایره دارد نامیده می شود.

اگر خطی دو نقطه مشترک داشته باشد آن را می گویند جدا کردن.

اگر شعاع را در نقطه تماس رسم کنید، بر مماس دایره عمود خواهد بود.

بیایید دو مماس از این نقطه به دایره خود رسم کنیم. معلوم می شود که بخش های مماس با یکدیگر برابر خواهند بود و مرکز دایره روی نیمساز زاویه با رأس در این نقطه قرار می گیرد.

AC=CB

حالا از نقطه خود یک مماس و یک مقطع بر دایره رسم می کنیم. به این نتیجه رسیدیم که مجذور طول قطعه مماس برابر با حاصلضرب کل قطعه سکانس در قسمت بیرونی آن خواهد بود.

AC^(2) = CD \cdot BC

می توان نتیجه گرفت: حاصلضرب یک قطعه صحیح از سکانس اول توسط قسمت بیرونی آن برابر است با حاصلضرب یک قطعه صحیح از سکانس دوم توسط قسمت بیرونی آن.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

زوایا در یک دایره

اندازه های درجه زاویه مرکزی و کمانی که بر روی آن قرار دارد برابر است.

\ زاویه COD = \ فنجان سی دی = \ آلفا ^(\circ)

زاویه حکاکی شدهزاویه ای است که راس آن روی دایره و اضلاع آن دارای وتر است.

می توانید با دانستن اندازه قوس آن را محاسبه کنید، زیرا برابر با نصف این قوس است.

\ زاویه AOB = 2 \ زاویه ADB

بر اساس قطر، زاویه محاطی، مستقیم.

\ زاویه CBD = \ زاویه CED = \ زاویه CAD = 90^ (\circ)

زوایای محاطی که بر روی یک قوس تکیه دارند یکسان هستند.

زوایای محاطی شده بر اساس وتر یکسان یا مجموع آنها 180^ (\circ) است.

\ زاویه ADB + \ زاویه AKB = 180^ (\circ)

\ زاویه ADB = \ زاویه AEB = \ زاویه AFB

در همان دایره رئوس مثلث هایی با زاویه های یکسان و قاعده معین قرار دارند.

زاویه ای با راس در داخل دایره و واقع بین دو وتر با نصف مجموع مقادیر زاویه ای کمان های دایره که در داخل زوایای داده شده و عمودی قرار دارند یکسان است.

\ زاویه DMC = \ زاویه ADM + \ زاویه DAM = \frac(1) (2) \ چپ (\cup DmC + \cup AlB \راست)

زاویه ای که راس آن خارج از دایره و بین دو مقطع قرار دارد، با نصف اختلاف قدر زاویه ای کمان های دایره ای که در داخل زاویه قرار دارند، یکسان است.

\ زاویه M = \ زاویه CBD - \ زاویه ACB = \frac(1)(2) \ چپ (\cup DmC - \cup AlB \راست)

دایره حکاکی شده

دایره حکاکی شدهدایره ای مماس بر اضلاع چند ضلعی است.

در نقطه ای که نیمسازهای زوایای چندضلعی را قطع می کنند، مرکز آن قرار دارد.

یک دایره ممکن است در هر چند ضلعی حک نشود.

مساحت یک چند ضلعی با دایره محاط شده با فرمول بدست می آید:

S=pr،

p نیم محیط چند ضلعی است،

r شعاع دایره محاطی است.

به این ترتیب شعاع دایره محاط شده برابر است با:

r = \frac(S)(p)

اگر دایره در یک چهارضلعی محدب محاط شود، مجموع طول اضلاع مقابل یکسان خواهد بود. و بالعکس: یک دایره در یک چهارضلعی محدب محاط می شود اگر مجموع طول اضلاع مقابل در آن یکسان باشد.

AB+DC=AD+BC

در هر یک از مثلث ها می توان دایره ای ثبت کرد. فقط یک تک. در نقطه ای که نیمسازهای زوایای داخلی شکل را قطع می کنند، مرکز این دایره محاطی قرار می گیرد.

شعاع دایره محاط شده با فرمول محاسبه می شود:

r = \frac(S)(p) ،

جایی که p = \frac(a + b + c)(2)

دایره محصور شده

اگر دایره ای از هر رأس یک چند ضلعی عبور کند، چنین دایره ای نامیده می شود حدود یک چند ضلعی.

مرکز دایره محدود شده در نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر اضلاع این شکل خواهد بود.

شعاع را می توان با محاسبه آن به عنوان شعاع دایره ای که در اطراف مثلثی که توسط هر 3 رأس چند ضلعی تعریف شده است، پیدا کرد.

شرط زیر وجود دارد: یک دایره را می توان به دور یک چهار ضلعی محصور کرد که مجموع زوایای مقابل آن برابر با 180^(\circ) باشد.

\ زاویه A + \ زاویه C = \ زاویه B + \ زاویه D = 180^ (\circ)

در نزدیکی هر مثلثی می توان یک دایره را توصیف کرد و یک و تنها یک. مرکز چنین دایره ای در نقطه ای قرار دارد که نیمسازهای عمود بر اضلاع مثلث را قطع می کنند.

شعاع دایره محدود شده را می توان با فرمول های زیر محاسبه کرد:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a، b، c طول اضلاع مثلث هستند،

S مساحت مثلث است.

قضیه بطلمیوس

در نهایت، قضیه بطلمیوس را در نظر بگیرید.

قضیه بطلمیوس بیان می کند که حاصل ضرب قطرها با مجموع حاصلضرب اضلاع یک چهارضلعی محاطی یکسان است.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD