Kvadrāts paralelograms, uzcelta uz vektori, aprēķina kā šo vektoru garuma un starp tiem esošā leņķa sinusa reizinājumu. Ja zināmas tikai vektoru koordinātas, tad aprēķiniem jāizmanto koordinātu metodes, tai skaitā jānosaka leņķis starp vektoriem.

Jums būs nepieciešams

• - vektora jēdziens;
• - vektoru īpašības;
• - Dekarta koordinātas;
• - trigonometriskās funkcijas.

Instrukcijas

• Ja ir zināmi vektoru garumi un leņķis starp tiem, tad, lai atrastu laukumu paralelograms, uzcelta uz vektori, atrodiet to moduļu (vektoru garumu) reizinājumu ar leņķa sinusu starp tiem S=│a│ │ b│ sin(α).
• Ja vektori ir doti Dekarta koordinātu sistēmā, tad, lai atrastu laukumu paralelograms pamatojoties uz tiem, rīkojieties šādi:
• Atrodiet vektoru koordinātas, ja tās nav dotas uzreiz, atņemot koordinātas no sākumiem no atbilstošajām vektoru galu koordinātēm. Piemēram, ja vektora sākuma punkta koordinātas ir (1;-3;2) un beigu punkta (2;-4;-5), tad vektora koordinātas būs (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Pieņemsim vektora a(x1;y1;z1), vektora b(x2;y2;z2) koordinātas.
• Atrodiet katra vektora garumus. Katras vektora koordinātas kvadrātā un atrodiet to summu x1²+y1²+z1². Ņemiet rezultāta kvadrātsakni. Otrajam vektoram veiciet to pašu procedūru. Tādējādi mēs iegūstam │a│un│b│.
• Atrodiet vektoru punktu reizinājumu. Lai to izdarītu, reiziniet to atbilstošās koordinātas un saskaitiet reizinājumus │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Nosakiet starp tiem esošā leņķa kosinusu, kuram 3. solī iegūto vektoru skalāro reizinājumu dala ar 2. solī aprēķināto vektoru garumu reizinājumu (Cos(α)= │a b│/(│a) │ │ b│)).
• Iegūtā leņķa sinuss būs vienāds ar kvadrātsakni no starpības starp skaitli 1 un tā paša leņķa kosinusa kvadrātu, kas aprēķināts 4. darbībā (1-Cos²(α)).
• Aprēķināt laukumu paralelograms, uzcelta uz vektori atraduši to garumu reizinājumu, kas aprēķināts 2. solī, un rezultātu reiziniet ar skaitli, kas iegūts pēc aprēķiniem 5. solī.
• Gadījumā, ja vektoru koordinātas ir norādītas plaknē, aprēķinu laikā z koordinātas tiek vienkārši izmestas. Šis aprēķins ir divu vektoru vektora reizinājuma skaitliska izteiksme.

Šajā nodarbībā apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei papildus vektoru skalārais reizinājums, nepieciešams arvien vairāk. Tā ir vektora atkarība. Var šķist, ka mēs nokļūstam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tas ir nepareizi. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz koka, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai sarežģītāks par to pašu skalārais produkts, būs vēl mazāk tipisko uzdevumu. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi pārliecināsies vai jau ir pārliecinājušies, ir NEKLŪDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību un būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz, piemēram, zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskajā darbā

Kas tevi uzreiz iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām un pat trīs bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad jums nevajadzēs žonglēt vispār, jo mēs to apsvērsim tikai telpiskie vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Tas jau ir vieglāk!

Šī darbība, tāpat kā skalārais reizinājums, ietver divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmē aršādā veidā: . Ir arī citas iespējas, bet es esmu pieradis vektoru vektoru reizinājumu šādi apzīmēt kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru skalārais reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Acīmredzamā atšķirība, pirmkārt, ir REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustreizinājuma rezultāts ir VECTOR: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Faktiski no šejienes cēlies operācijas nosaukums. Dažādā mācību literatūrā apzīmējumi var atšķirties, es izmantošu burtu.

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: vektora produkts nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, ko sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors vektoriem ortogonāli, un ir vērsta tā, lai bāzei būtu pareiza orientācija:

Sadalīsim definīciju pa daļām, šeit ir daudz interesantu lietu!

Tātad var izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Sākotnējie vektori, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām, pēc definīcijas nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Tiek ņemti vektori stingri noteiktā secībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis “būt” ar “a”. Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR, kas ir norādīts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (aveņu krāsa). Tas ir, vienlīdzība ir patiesa .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora (un līdz ar to tumšsarkanā vektora) GARUMS ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, vektora reizinājuma nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Atcerēsimies vienu no ģeometriskajām formulām: Paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formula ir par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Iegūsim otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divos vienādos trīsstūros. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast, izmantojot formulu:

4) Tikpat svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir . Protams, arī pretēji vērstais vektors (aveņu bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamats Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es runāju pietiekami detalizēti par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kas ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka. Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet to plaukstā. Rezultātā īkšķis– vektora reizinājums pavērsies uz augšu. Tas ir uz labo pusi orientēts pamats (attēlā ir šis). Tagad mainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Jums var rasties jautājums: kuram pamatam ir kreisā orientācija? “Piešķirt” tiem pašiem pirkstiem kreisā roka vektorus un iegūt telpas kreiso pamatu un kreiso orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, telpas orientāciju maina visparastākais spogulis, un, ja jūs “izvelciet atstaroto objektu no skata stikla”, tad vispārīgā gadījumā nebūs iespējams to apvienot ar "oriģinālu". Starp citu, turiet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

...cik labi, ka tu tagad par to zini orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir biedējoši =)

Kolineāro vektoru krustreizinājums

Definīcija ir detalizēti apspriesta, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir vienāds ar nulli. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad . Stingri sakot, pats vektora reizinājums ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un tiek rakstīts, ka tas vienkārši ir vienāds ar nulli.

Īpašs gadījums ir vektora krustreizinājums ar sevi:

Izmantojot vektora reizinājumu, varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, jums var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti izveidoju sākotnējos datus klauzulās. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod garums vektors (krustprodukts). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Ja jums jautāja par garumu, tad atbildē mēs norādām izmēru - vienības.

b) Saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod kvadrāts paralelograms, kas veidots uz vektoriem. Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar vektora reizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbilde vispār nerunā par vektorproduktu; mums jautāja par to figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS mums jāatrod atbilstoši stāvoklim, un, pamatojoties uz to, formulējam skaidrs atbildi. Var šķist, ka tas ir burtiski, taču skolotāju vidū ir daudz literātu, un pastāv liela iespēja, ka uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan šī nav īpaši tāla ķibele - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav sapratis uzdevuma būtību. Šis punkts vienmēr ir jākontrolē, risinot problēmas augstākajā matemātikā un arī citos mācību priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts “en”? Principā to varēja papildus pievienot risinājumam, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs DIY risinājuma piemērs:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trīsstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts; trijstūri parasti var jūs mocīt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums būs nepieciešams:

Vektoru vektorreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums īpašībās parasti nav izcelts, taču praktiskā ziņā tas ir ļoti svarīgi. Tātad lai tas būtu.

2) – par īpašumu arī ir runāts augstāk, dažkārt sauc antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) – asociatīvais vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli pārvietot ārpus vektora reizinājuma. Tiešām, kas viņiem tur jādara?

4) – izplatīšana vai sadales vektorproduktu likumi. Arī ar kronšteinu atvēršanu nav problēmu.

Lai to parādītu, apskatīsim īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Nosacījums atkal prasa atrast vektora reizinājuma garumu. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem konstantes tiek ņemtas ārpus vektora reizinājuma darbības jomas.

(2) Mēs pārvietojam konstanti ārpus moduļa, un modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Pārējais ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks ugunij pievienot vairāk malkas:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Galvenais ir tas, ka vektori “tse” un “de” paši tiek parādīti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad mēs sadalīsim risinājumu trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteiksim vektoru vektora izteiksmē. Par garumiem vēl nav ne vārda!

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, mēs atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs pārvietojam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors), pateicoties jaukajai īpašībai. Otrajā terminā mēs izmantojam vektora produkta antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2.-3.posmu varēja rakstīt vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta testos, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Paskatīsimies, cik uzmanīgs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

, kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "ieliekam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā– vispirms “ve” vektora koordinātas, tad “dubultā-ve” vektora koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
A)
b)

Risinājums: Pārbaude ir balstīta uz vienu no šīs nodarbības apgalvojumiem: ja vektori ir kolineāri, tad to vektora reizinājums ir vienāds ar nulli (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tādējādi vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskās nozīmes un pāris darba formulām.

Jaukts vektoru reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Tāpēc viņi sastājās rindā kā vilciens un nevar sagaidīt, kad tiks identificēti.

Pirmkārt, atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts darbs ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, zvanīja paralēlskaldņu tilpums, kas veidota uz šiem vektoriem, aprīkota ar “+” zīmi, ja pamats ir pareizs, un “–” zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas tiek vilktas ar punktētām līnijām:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Tiek ņemti vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru pārkārtošanās produktā, kā jūs varētu nojaust, nenotiek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēšu acīmredzamu faktu: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var nedaudz atšķirties, jauktu produktu esmu pieradis apzīmēt ar , bet aprēķinu rezultātu ar burtu “pe”.

A-prior jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, veidots uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar noteiktā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizēsimies atkal par pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkāršiem vārdiem sakot, jaukts produkts var būt negatīvs: .

Tieši no definīcijas izriet formula uz vektoriem veidota paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai.

Uz vektoriem veidotā paralelograma laukums ir vienāds ar šo vektoru garuma un starp tiem esošā leņķa leņķa reizinājumu.

Ir labi, ja apstākļi nosaka šo pašu vektoru garumus. Tomēr gadās arī tā, ka uz vektoriem veidoto paralelograma laukuma formulu var izmantot tikai pēc aprēķiniem, izmantojot koordinātas.
Ja jums ir paveicies un apstākļi nosaka vektoru garumus, jums vienkārši jāpiemēro formula, kuru mēs jau detalizēti apspriedām rakstā. Laukums būs vienāds ar moduļu un leņķa sinusa reizinājumu starp tiem:

Apskatīsim piemēru paralelograma laukuma aprēķināšanai, kas veidota uz vektoriem.

Uzdevums: Paralelograms ir veidots uz vektoriem un . Atrodiet laukumu, ja , Un leņķis starp tiem ir 30°.
Izteiksim vektorus ar to vērtībām:

Varbūt jums ir jautājums - no kurienes rodas nulles? Ir vērts atcerēties, ka mēs strādājam ar vektoriem un tiem . ņemiet vērā arī to, ka, ja rezultāts ir izteiksme, tas tiks pārveidots par. Tagad mēs veicam galīgos aprēķinus:

Atgriezīsimies pie problēmas, kad vektoru garumi nosacījumos nav noteikti. Ja jūsu paralelograms atrodas Dekarta koordinātu sistēmā, jums būs jāveic šādas darbības.

Ar koordinātām dotas figūras malu garumu aprēķins

Vispirms atrodam vektoru koordinātas un no beigu koordinātām atņemam atbilstošās sākuma koordinātas. Pieņemsim, ka vektora a koordinātas ir (x1;y1;z1), un vektora b ir (x3;y3;z3).
Tagad mēs atrodam katra vektora garumu. Lai to izdarītu, katra koordināte jāsaliek kvadrātā, pēc tam jāsaskaita iegūtie rezultāti un jāizvelk sakne no gala skaitļa. Pamatojoties uz mūsu vektoriem, tiks veikti šādi aprēķini:


Tagad mums jāatrod mūsu vektoru skalārais reizinājums. Lai to izdarītu, atbilstošās koordinātas tiek reizinātas un pievienotas.

Ņemot vērā vektoru garumus un to skalāro reizinājumu, mēs varam atrast leņķa kosinusu, kas atrodas starp tiem .
Tagad mēs varam atrast tāda paša leņķa sinusu:
Tagad mums ir visi nepieciešamie daudzumi, un mēs varam viegli atrast uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, izmantojot jau zināmo formulu.